[论文解读] Information-disturbance tradeoff in quantum measurement on the uniform ensemble and on the mutually unbiased bases

Howard Barnum|ArXiv.org|May 24, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 25

一句话总结

该论文证明，对于均匀分布的纯态系综的量子测量，通过广义的“平方根”动力学（即幺正协变（各向同性）测量策略）可实现信息获取与态扰动之间的最优权衡。论文证明了信息-扰动边界是凸的，并表明当维度 d 为奇素数的幂时，可通过从互为 unbiased 的基中导出的球面 2-设计来简化此类测量。

ABSTRACT

I consider the tradeoff between the information gained about an initially unknown quantum state, and the disturbance caused to that state by the measurement process. I show that for any distribution of initial states, the information-disturbance frontier is convex, and disturbance is nondecreasing with information gain. I consider the most general model of quantum measurements, and all post-measurement dynamics compatible with a given measurement. For the uniform initial distribution over states, I show that the least-disturbing way of making any measurement is with conditional dynamics satisfying a generalization of the projection postulate, the ``square-root dynamics.'' Thus, procedures for achieving a point on the information-disturbance frontier may be assumed to involve such conditional dynamics. Also, the information-disturbance frontier for the uniform ensemble may be achieved with ``isotropic'' (unitarily covariant) dynamics. This results in a significant simplification of the optimization problem for calculating the tradeoff in this case, giving hope for a closed-form solution. I also show that the discrete ensembles uniform on the d(d+1) vectors of a certain set of d+1 ``mutually unbiased'' or conjugate bases in d dimensions form spherical 2-designs in CP_{d-1} when d is a power of an odd prime. This implies that many of the results of the paper apply also to these discrete ensembles.

研究动机与目标

• 量化对未知初始态的量子测量中，信息获取与态扰动之间的基本权衡。
• 确定均匀分布的纯态系综的最小扰动测量策略。
• 将投影 postulate 推广至 POVM，并识别使平均扰动最小的动力学。
• 证明均匀系综的最优测量策略是幺正协变（各向同性）的，从而简化优化问题。
• 将结果扩展至在 d 维希尔伯特空间中均匀分布在互为 unbiased 的基上的离散系综，表明当 d 为奇素数的幂时，这些系综构成球面 2-设计。

提出的方法

• 使用正算子值测度（POVM）来建模一般量子测量，替代投影测量。
• 应用迹递减的完全正映射（量子操作）来描述每种测量结果后的后测量动力学。
• 引入“平方根动力学”作为 Lüders 规则的推广，定义为 $ \mathcal{G}_b(\rho) = F_b^{1/2} \rho F_b^{1/2} / \text{Tr}(F_b \rho) $，其中 $ F_b $ 为 POVM 元素。
• 证明该平方根动力学可最小化最大混合态 $ \rho = I/d $ 的纠缠保真度扰动。
• 利用均匀系综是球面 2-设计的事实，证明各向同性（幺正协变）测量是最优的。
• 证明在 d 维希尔伯特空间中，均匀分布在 $ d(d+1) $ 个互为 unbiased 的基上的离散系综，当 $ d $ 为奇素数的幂时，构成球面 2-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于均匀分布的纯态系综的量子测量，信息获取与扰动之间的最优权衡是什么？
• RQ2 能否证明广义的 Lüders 规则（平方根动力学）可最小化均匀系综的扰动？
• RQ3 均匀系综的最优测量策略是否表现出幺正协变性（各向同性），且这种性质能否简化优化？
• RQ4 在 d 维希尔伯特空间中，均匀分布在互为 unbiased 的基上的离散系综，当 d 为奇素数的幂时，是否构成球面 2-设计？
• RQ5 能否利用对称性和设计理论，对这些系综的信-扰动边界进行解析表征？

主要发现

• 均匀系综的信息-扰动边界是凸的，且扰动随信息获取的增加而非递减。
• 平方根动力学——作为 Lüders 规则的推广——可最小化最大混合态 $ \rho = I/d $ 的纠缠保真度扰动。
• 对于均匀系综，最优测量策略是幺正协变（各向同性）的，显著简化了优化问题。
• 当 d 为奇素数的幂时，在 d 维希尔伯特空间中均匀分布在 $ d(d+1) $ 个互为 unbiased 的基上的离散系综构成球面 2-设计。
• 该设计性质意味着关于均匀系综的结果可推广至这些离散系综，从而实现类似的简化与解析进展。
• 本文确立了，对于均匀系综，不存在其他测量动力学能实现比平方根动力学更低的平均扰动。