[论文解读] Information Theoretic Axioms for Quantum Theory

Marco Zaopo|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文从四个信息理论公理——可区分性、守恒性、可逆性和复合性——重建量子理论，表明量子力学是唯一满足这些公理的非经典概率理论。该研究消除了对子空间公理的依赖，对公理子集下的理论进行分类，并建立了量子逻辑与信息理论基础之间的联系，表明在修改的局部层析条件下，实数和四元数量子理论作为一致的替代理论浮现出来。

ABSTRACT

In this paper we derive the complex Hilbert space formalism of quantum theory from four simple information theoretic axioms. It is shown that quantum theory is the only non classical probabilistic theory satisfying the following axioms: distinguishability, conservation, reversibility, composition. The new results of this reconstruction compared to other reconstructions by other authors are: (i) we get rid of axiom "subspace" in favor of axiom conservation eliminating mathematical requirements contained in previous axiomatics; (ii) we are able to classify all the probabilistic theories that are consistent requiring (a) only the first two axioms (b) only the first three axioms; this could be useful in experimental tests of quantum theory since it gives the possibility to understand whether or not other mathematical models could be consistent with such tests; (iii) we provide a connection between two different approaches to quantum foundations, quantum logic and the one based on information theoretic primitives showing that any theory satisfying the first two axioms given above either is classical or is a theory in which physical systems are described by a projective geometry.

研究动机与目标

• 仅基于信息理论原则，提供一种新的量子理论重建，避免先前的数学约束（如子空间公理）。
• 对满足四个公理子集的所有概率理论进行分类，以实现对替代模型的实验检验。
• 建立量子逻辑（纯态的射影几何）与信息理论基础之间的正式联系。
• 证明在2-局部层析条件下，实数和四元数量子理论满足公理，表明它们是可行的替代方案。

提出的方法

• 从四个公理（可区分性、守恒性、可逆性和复合性）推导出复希尔伯特空间形式体系。
• 利用守恒性和可区分性公理，对所有纯态构成通用域上射影空间的概率理论进行分类。
• 应用可逆性公理，将态空间限制为d维超球面，从而推导出赋值范数的实除法代数（实数、复数、四元数、八元数）。
• 引入2-局部层析作为实量子理论中局部层析的替代，证明其与公理的一致性。
• 通过态空间和变换的结构分析，表征满足公理子集的理论集合。
• 利用Wooters和Hardy的结果，论证在2-局部层析条件下，实量子理论满足公理，表明其作为候选替代理论的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖子空间或压缩公理的前提下，仅基于信息理论原则重建量子理论？
• RQ2 哪些概率理论仅满足可区分性和守恒性公理？
• RQ3 哪些理论满足可区分性、守恒性和可逆性公理？它们与射影几何和赋值范数除法代数有何关系？
• RQ4 在实量子理论中，2-局部层析与局部层析在表征复合系统方面有何比较？
• RQ5 若将局部层析替换为2-局部层析，实数上的量子理论是否是唯一满足四个公理的非经典理论？

主要发现

• 唯一满足所有四个公理（可区分性、守恒性、可逆性和复合性）的非经典概率理论是具有复振幅的量子理论。
• 仅满足可区分性和守恒性公理的理论，要么是经典理论，要么是纯态构成通用域上射影空间的理论，从而将量子理论推广至实数、复数和四元数振幅。
• 加入可逆性公理后，态空间被限制为d维超球面，意味着振幅必须属于赋值范数的实除法代数，包括实数、复数、四元数和八元数。
• 实数上的量子理论满足除局部层析外的所有公理，但与2-局部层析一致，如Wooters和Hardy所示。
• 本文推测，在2-局部层析条件下，实数上的量子理论是唯一满足可区分性、守恒性、可逆性和复合性的理论。
• 本研究建立了量子逻辑（射影几何）与信息理论基础之间的正式联系，表明任何满足前两个公理的理论要么是经典的，要么是射影的。