[论文解读] Information theory demonstration of the Richardson cascade

Rory Cerbus, W. I. Goldburg|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用信息论——特别是条件熵和互信息——在不依赖纳维-斯托克斯方程或柯尔莫哥洛夫假设的前提下，验证了理查森的涡旋级联假说在（准）二维湍流中的成立。结果表明信息从大涡向小涡传递，证实了级联方向，并揭示了由于不可逆的信息传递，间歇性是湍流流动的必然特征。

ABSTRACT

Turbulence theory is usually concerned with the statistical moments of the velocity or its fluctuations. One could also analyze the implicit probability distributions. This is the purview of information theory. Here we use information theory, specifically the conditional entropy, to analyze (quasi-)2D turbulence. We recast Richardson's "eddy hypothesis" that large eddies break up into small eddies in time in the language of information theory. In addition to confirming Richardson's idea, we find that self-similarity and turbulent length scales reappear naturally. Not surprisingly, we also find that the direction of information transfer is the same as the direction of the cascade itself. Consequently, intermittency may be considered a necessary companion to all turbulent flows.

研究动机与目标

• 使用信息论而非传统流体力学方法，检验理查森的涡旋假说——即大涡破碎成更小的涡旋。
• 确定湍流中信息传递的方向是否与能量级联方向一致。
• 研究自相似性与湍流长度尺度是否能从速度涨落的信息论分析中自然涌现。
• 评估间歇性是否为信息传递的必然结果，且独立于柯尔莫哥洛夫标度假设。

提出的方法

• 通过条件熵 H(Le|Sl) 和 H(Sl|Le) 量化在已知小涡状态下的大涡演化不确定性，以及反之亦然。
• 定义度量 D(r) = H(Le|Sl) - H(Sl|Le) 以检测信息传递方向，其中 D(r) > 0 表示信息从大尺度向小尺度传递。
• 利用粒子图像测速（PIV）技术从二维 soapy film 流实验数据中提取不同尺度 r 下的速度差 δu(r)。
• 使用概率分布 p(δu(r)) 计算信息论量，避免依赖统计矩（如 Sₙ(r)）的假设。
• 通过用特征长度尺度 L 归一化 D(r)，检验自相似性，若不同雷诺数下的曲线实现重叠，则表明尺度不变性。
• 利用互信息 I(Sl;Le) 量化大涡与小涡之间的共享信息，I(Sl;Le) > I(Ll;Se) 的结果证实信息净向小尺度传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 信息论是否能提供一个框架，在不使用纳维-斯托克斯方程或柯尔莫哥洛夫假设的前提下，验证理查森的涡旋级联假说？
• RQ2 湍流中信息传递的方向是否与从大尺度到小尺度的物理级联方向一致？
• RQ3 自相似性与湍流长度尺度是否能从速度涨落的信息论分析中自然涌现？
• RQ4 尺度间的互信息是否能证实信息不可逆地向小尺度传递，从而表明大尺度强迫的‘遗忘’是不可能的？
• RQ5 由于不可逆的信息传递，间歇性是否是湍流级联的必然特征？

主要发现

• 度量 D(r) = H(Le|Sl) - H(Sl|Le) 在所有 r 上均为正值，证实大涡在统计上演化为更小的涡，从而验证了理查森级联假说。
• 观察到一个近似恒定的 D(r) 区域，表明存在类似于柯尔莫哥洛夫理论中恒定涡度通量的信息通量。
• 当 D(r) 使用单一长度尺度 L 归一化后，不同雷诺数下的曲线实现重叠，表明具有自相似性并自然涌现出湍流长度尺度。
• 随着雷诺数增加，L 与初始长度尺度 L₀ 的比值减小，表明其具有与流动强度相关的标度依赖性。
• 互信息分析证实 I(Sl;Le) > I(Ll;Se)，证明信息净向小尺度传递，意味着大尺度强迫无法被‘遗忘’。
• 不可逆的信息传递意味着间歇性是所有湍流级联的必要特征，因为尺度间完全的统计独立性不可能实现。