[论文解读] Informationally complete measurements from compressed sensing methodology

Amir Kalev, Robert L. Kosut+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2015

Control Systems and Identification参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文证明了量子密度矩阵的半正定性在压缩感知（CS）与量子态层析中信息完备性之间建立了严格的联系。通过在半正定锥上进行凸优化，该方法能够在少于经典所需测量设置的条件下，实现对高维量子态的鲁棒、高效重建，且恢复结果不依赖于特定的凸优化程序。

ABSTRACT

Compressed sensing (CS) is a technique to faithfully estimate an unknown signal from relatively few data points when the measurement samples satisfy a restricted isometry property (RIP). Recently, this technique has been ported to quantum information science to perform tomography with a substantially reduced number of measurement settings. In this work we show that the constraint that a physical density matrix is positive semidefinite provides a rigorous connection between the RIP and the informational completeness of a POVM used for state tomography. This enables us to construct informationally complete measurements that are robust to noise using tools provided by the CS methodology. The exact recovery no longer hinges on a particular convex optimization program; solving any optimization, constrained to the cone of positive semidefinite matrices, effectively results in a CS estimation of the state. From a practical point of view, we can therefore employ fast algorithms developed to handle large dimensional matrices for efficient tomography of quantum states of a large dimensional Hilbert space.

研究动机与目标

• 建立压缩感知中的限制等距性（RIP）与量子测量中信息完备性之间的理论联系。
• 解决在高维希尔伯特空间中减少量子态层析所需测量设置数量的挑战。
• 开发一种对噪声具有鲁棒性且可扩展至大规模系统的量子态重建框架。
• 通过利用密度矩阵的半正定结构，使大规模快速凸优化算法可用于量子态估计。

提出的方法

• 利用压缩感知中的限制等距性（RIP）确保从少量测量中实现稳定且鲁棒的信号恢复。
• 将量子密度矩阵的半正定约束作为关键结构特性，以保证测量POVM的信息完备性。
• 在半正定矩阵锥上应用凸优化来估计量子态，而无需依赖特定的优化程序。
• 运用压缩感知工具构建信息完备且抗噪声的测量设置。
• 使适用于大维度半正定矩阵的快速数值算法得以应用，从而加速态重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 密度矩阵的半正定性是否可用于确保基于压缩感知的量子层析中的信息完备性？
• RQ2 限制等距性（RIP）与量子态估计中测量POVM的性能有何关系？
• RQ3 在利用密度矩阵结构的前提下，标准压缩感知恢复保证在量子领域中可多大程度上被适配？
• RQ4 任何受限于半正定锥的凸优化是否都能产生有效的量子态压缩感知估计？

主要发现

• 密度矩阵的半正定性为压缩感知与量子测量中信息完备性之间提供了严格的理论基础。
• 可利用压缩感知方法构建信息完备的POVM，确保对噪声的鲁棒性并减少测量开销。
• 只要解位于半正定锥内，精确态恢复便不再依赖于特定的凸优化程序。
• 该框架允许应用针对大维度矩阵的快速、可扩展算法，显著提升了高维量子态层析中的计算效率。