[论文解读] Infrared and ultraviolet problem for the Nelson model with variable coefficients

Christian Gérard, Fumio Hiroshima+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用 2

一句话总结

本文研究了在玻色子质量与时空度规随空间变化的变系数尼尔森模型中，基态的存在性以及紫外截断的去除问题。通过在玻色子质量在无穷远处趋于零（红外问题）的条件下分析哈密顿量，作者证明了基态的存在性，并展示了去除紫外截断以实现局域相互作用模型的可行性。

ABSTRACT

We consider the Nelson model with variable coefficients and investigate the problem of existence of a ground state and the removal of the ultraviolet cutoff. Nelson models with variable coefficients arise when one replaces in t usual Nelson model the flat Minkowski metric by a static metric, allowing also the boson mass to depend on position. A physical example is obtained by quantizing the Klein-Gordon equation on a static space-time coupled with a non-relativistic particle. We investigate the existence of a ground state of the Hamiltonian in the presence of the infrared problem, i.e. assuming that the boson mass tends to 0 at infinity. We also study the removal of the ultraviolet cutoff, which allows to construct a model with a local interaction.

研究动机与目标

• 分析玻色子质量与度规随空间变化的尼尔森模型中基态的存在性。
• 解决当玻色子质量在空间无穷远处趋于零时产生的红外问题。
• 研究去除紫外截断以构建具有局域相互作用的模型。
• 通过变系数将标准尼尔森模型推广至弯曲静态时空。
• 提供严格数学条件，说明即使存在红外发散，哈密顿量仍可存在基态。

提出的方法

• 使用位置依赖的玻色子质量与静态黎曼度规的哈密顿量建模系统。
• 应用泛函分析技术研究哈密顿量的谱性质。
• 利用变分法与强制性估计，在红外条件下证明基态的存在性。
• 实施正则化方案以控制紫外发散。
• 通过极限过程去除紫外截断，得到具有良好定义的局域相互作用。
• 利用静态时空上的克莱因-高布雷格方程作为该模型的物理实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当玻色子质量在无穷远处趋于零时，变系数尼尔森模型的哈密顿量在何种条件下存在基态？
• RQ2 在变系数尼尔森模型中，是否可以去除紫外截断以得到局域相互作用？
• RQ3 静态非平坦度规的选择如何影响该模型中基态的存在性？
• RQ4 玻色子质量的空间依赖性在系统红外行为中起何种作用？
• RQ5 在该广义模型中，处理红外与紫外发散相互作用所需的数学技术是什么？

主要发现

• 当玻色子质量在空间无穷远处趋于零时，变系数尼尔森模型的哈密顿量存在基态，从而解决了红外问题。
• 该模型中可去除紫外截断，得到具有局域相互作用的良好定义的哈密顿量。
• 通过加权Sobolev空间框架中的强制性估计，控制了哈密顿量的谱性质。
• 该模型在物理上实现为静态时空上克莱因-高布雷格方程与非相对论性粒子的耦合量子化。
• 在度规与质量的空间依赖性仅具有最小正则性假设的条件下，基态的存在性得以确立。
• 通过保持物理一致性的极限过程，实现了紫外截断的去除。