[论文解读] Inhomogeneous Diophantine Approximation on $M_0$-sets with restricted denominators

Andrew Pollington, Sanju Velani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在具有受限分母的 $M_0$-集上建立了定量的非齐次丢番图逼近定理，表明对于间隙序列 $\mathcal{A} = (q_n)$ 以及满足傅里叶衰减 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$（$A > 2$）的测度 $\mu$，序列 $(q_n x \mod 1)$ 在紧致集合 $F$ 上对 $\mu$-几乎所有 $x$，会以期望次数击中围绕固定 $\gamma$ 的收缩球。该结果将经典的一致分布理论推广至收缩目标与受限分母的情形。

ABSTRACT

Let $F \subseteq [0,1]$ be a set that supports a probability measure $μ$ with the property that $ |\widehatμ(t)| \ll (\log |t|)^{-A}$ for some constant $ A > 0 $. Let $\mathcal{A}= (q_n)_{n\in \mathbb{N}} $ be a sequence of natural numbers. If $\mathcal{A}$ is lacunary and $A >2$, we establish a quantitative inhomogeneous Khintchine-type theorem in which (i) the points of interest are restricted to $F$ and (ii) the denominators of the `shifted' rationals are restricted to $\mathcal{A}$. The theorem can be viewed as a natural strengthening of the fact that the sequence $(q_nx { m \ mod \, } 1)_{n\in \mathbb{N}} $ is uniformly distributed for $μ$ almost all $x \in F$. Beyond lacunary, our main theorem implies the analogous quantitative result for sequences $\mathcal{A}$ for which the prime divisors are restricted to a finite set of $k$ primes and $A > 2k$.

研究动机与目标

• 将经典的非齐次丢番图逼近推广至具有受限分母的 $M_0$-集。
• 为间隙序列与收缩目标建立 Davenport–Erd\'os–LeVeque 定理的定量版本。
• 确定 $M_0$-集上测度的傅里叶变换的衰减速率，以保证 $\mu$-几乎所有 $x$ 模 1 的一致分布。
• 将结果从间隙序列推广至其素因子被限制在 $k$ 个素数的有限集合内的序列，前提是更强的衰减条件 $A > 2k$。

提出的方法

• 使用 Davenport–Erd\'os–LeVeque 准则，将 $(q_n x \mod 1)$ 的一致分布与测度 $\mu$ 的傅里叶变换 $\widehat{\mu}(t)$ 的衰减速率联系起来。
• 应用 $\mu$-测度对 $W^*$-集的刻画，以表征一致分布失效的集合。
• 引入收缩目标函数 $\psi(q_n)$，以建模围绕固定 $\gamma \in [0,1]$ 的收缩球 $B(\gamma, \psi(q_n))$。
• 利用 $s_n = q_n - q_{n-1}$ 与部分和 $S_n$ 的求和估计，控制收缩区间内的击中次数。
• 采用对 $\sum s_n / S_n$ 与 $\sum s_n / S_n^2$ 的对数与调和型界，推导出收敛条件。
• 推导出 $(q_n x \mod 1)$ 的偏差量与测度 $\mu$ 及目标大小 $\psi(q_n)$ 之间的定量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种傅里叶衰减条件下，序列 $(q_n x \mod 1)$ 对 $\mu$-几乎所有 $x \in F$ 模 1 一致分布？
• RQ2 经典的非齐次 Kintchine 定理是否可被加强，以在分母受限于间隙序列 $\mathcal{A}$ 时允许收缩目标？
• RQ3 为使收缩球 $B(\gamma, \psi(q_n))$ 的期望击中频率成立，所需的最小衰减速率 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$ 是什么？
• RQ4 该结果如何从间隙序列推广至其素因子被限制在 $k$ 个素数的有限集合内的序列？

主要发现

• 对于间隙序列 $\mathcal{A}$ 及满足 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$（$A > 2$）的 $\mu$，序列 $(q_n x \mod 1)$ 对 $\mu$-几乎所有 $x \in F$ 会以期望次数击中收缩球 $B(\gamma, \psi(q_n))$。
• 该结果意味着，若 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log\log|t|)^{-(1+\epsilon)}$ 对某个 $\epsilon > 0$ 成立，则 $\mu$-几乎所有 $x \in F$ 都是正规数。
• 对于其素因子被限制在 $k$ 个素数的序列 $\mathcal{A}$，若 $A > 2k$，则结果依然成立，从而将结论推广至非间隙序列。
• 关键的技术工具是对和 $\sum_{k=a}^b \frac{s_k}{\tilde{S}_k}$ 的估计，其中 $\tilde{S}_k = \max(\gamma, S_k)$，该估计控制了收缩目标中的偏差。
• 本文为受限分母与收缩目标建立了 Davenport–Erd\'os–LeVeque 定理的定量版本，改进了经典结果。
• 证明依赖于对 $\sum s_k / S_k$ 与 $\sum s_k / S_k^2$ 的估计，利用对数与调和型不等式，从而保证偏差级数的收敛性。