[论文解读] Inhomogeneous Dirichlet problems involving the infinity-Laplacian

Tilak Bhattacharya, Ahmed Mohammed|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过结合Perron方法与先验上确界估计，建立了无穷范数拉普拉斯算子非齐次狄利克雷问题粘性解存在的普遍充分条件。研究针对任意有界区域给出了存在性结果，并识别出在大内径区域中会导致解不存在的非齐次项显式类，从而以更严格、更一般化的条件解决了先前工作中遗留的开放问题。

ABSTRACT

Our purpose in this paper is to provide a self contained account of the inhomogeneous Dirichlet problem $Δ_\infty u=f(x,u)$ where $u$ takes a prescribed continuous data on the boundary of bounded domains. We employ a combination of Perron's method and a priori estimates to give general sufficient conditions on the right hand side $f$ that would ensure existence of viscosity solutions to the Dirichlet problem. Examples show that these sufficient conditions may not be relaxed. We also identify a class of inhomogeneous terms for which the corresponding Dirichlet problem has no solution in any domain with large in-radius. Several results, which are of independent interest, are developed to build towards the main results. The existence theorems provide substantial improvement of previous results, including our earlier results \cite{BMO} on this topic.

研究动机与目标

• 消除无穷范数拉普拉斯算子狄利克雷问题中非齐次项 f(x,t) 的符号与单调性限制。
• 为 f 建立确保在任意有界区域中存在粘性解的一般充分条件。
• 识别出在大内径区域中无解的 f 的显式类。
• 扩展并改进 [6] 中的早期结果，特别是通过去除对 f 和区域的限制性假设。

提出的方法

• 通过利用 f 的先验上确界估计构造合适的次解与超解，改进Perron方法。
• 运用粘性解的比较原理验证次解与超解的性质。
• 通过径向测试函数，推导出具有三次非线性项的无穷范数拉普拉斯算子的特征值显式下界与上界。
• 利用 f 的下水平集的内球与外球半径，导出解存在性或非存在性的定量估计。
• 应用强极小值原理与球体内无穷超调和函数的凹性论证，推导比较估计。
• 证明当 f 满足先验上确界估计时，解的存在性与区域大小无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 f(x,t) 的一般条件下，无穷范数拉普拉斯算子非齐次狄利克雷问题在任意有界区域中存在粘性解？
• RQ2 是否可以在不假设 f 非负、非正或关于 t 单调的条件下，保证解的存在性？
• RQ3 f 的何种条件会导致在大内径区域中解不存在？
• RQ4 如何为具有三次非线性项的无穷范数拉普拉斯算子导出特征值型估计？
• RQ5 在去除 f 的单调性与符号限制后，[6] 中的结果能在多大程度上被推广？

主要发现

• 当 f 满足先验上确界估计时，无论 f 是否具有符号或单调性，所有有界区域中均存在解。
• 对于问题 Δ∞u + λa(x)u³ = 0，特征值 λ 的必要下界为 λ ≥ 1/(σ³MR⁴)，其中 R 为外球半径，M = sup a(x)。
• 对于正特征函数，有 λ ≤ 4(4/3)³ / (σ³Mαρₐ⁴)，其中 ρₐ 为集合 {x : a(x) > αM} 的内球半径，表明当 λ 较大时存在变号特征函数。
• 当 f 非正且关于 t 递减时，在大内径区域中解不存在，此结论由显式反例验证。
• 本研究结果推广并改进了 [6] 中的早期发现，现可涵盖此前仅限于单调或符号确定 f 的情形。
• 通过先验估计构造次解与超解的方法，使解的存在性结果独立于区域几何，仅通过 R 与 ρₐ 体现其影响。