[论文解读] Inhomogeneous Jacobi equation and Holographic subregion complexity

Avirup Ghosh, Rohit Mishra|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 4

一句话总结

本论文提出一种微扰变分方法，通过求解控制边界子区域对偶的极小曲面形变的非齐次Jacobi方程，在渐近AdS时空背景下计算全息子区域复杂度。该方法在纯AdS₄背景上对加速黑brane扰动下，计算了条带形与圆盘形区域的体积复杂度的一阶变化，关键结果为在3+1维空间中，球形子区域的一阶复杂度变化为零。

ABSTRACT

We derive a general expression for obtaining Holographic subregion complexity for asymptotically $AdS$ spacetimes, pertubatively around pure $AdS$ using a variational technique. An essential step in finding subregion complexity is to identify the bulk minimal surface of the entangling subregion. Our method therefore heavily relies on solutions of an inhomogeneous version of Jacobi equation, used to study deformations of the entangling surface for perturbations of the bulk metric. Using this method we have obtained the change in complexity for a strip and a circular disk like subsystem for \emph{boosted} black brane like perturbations over pure $AdS_4$. As a corollary, we find that for spherical subsytems in $3+1$ dimensional bulk, the linear change of subregion complexity for \emph{boosted} black brane like perturbations over pure $AdS_4$ , vanishes.

研究动机与目标

• 开发一种适用于渐近AdS时空的通用微扰方法，用于计算全息子区域复杂度，超越纯AdS情形。
• 在度量扰动下识别边界子区域对应的体极小曲面，这对复杂度计算至关重要。
• 推导特定几何形状——条带形与圆形圆盘——在类似加速黑brane扰动下的子区域复杂度的一阶变化。
• 证明在3+1维体时空中的球形子区域，此类扰动下的一阶复杂度变化为零。
• 建立基于非齐次Jacobi方程的框架，用于研究扰动引力背景中曲面形变。

提出的方法

• 该方法采用变分技术，计算由对偶于边界子区域的极小共维数二曲面所界定的极大共维数一体曲面的体积变化。
• 其核心是求解描述在度量扰动下纠缠曲面一阶形变的非齐次Jacobi方程。
• 推导过程考虑了曲面嵌入和体度量的变分，采用围绕纯AdS₄的微扰展开。
• 方法结合了外曲率与平均曲率矢量的变分，通过Gauss与Codazzi方程处理切向与法向分量。
• 形式体系利用引力的辛结构及其与边界量子态复杂度的关系，与复杂度=体积猜想一致。
• 推导出涉及黎曼张量、度量变分与联络变化的关键恒等式，以处理二阶微扰与曲面项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有非平凡体几何的渐近AdS时空背景下，通过微扰方法计算全息子区域复杂度？
• RQ2 非齐次Jacobi方程在确定度量扰动下极小曲面形变中的作用是什么？
• RQ3 在类似加速黑brane扰动下，不同边界子区域形状（特别是条带形与圆形圆盘）的子区域复杂度一阶变化行为如何？
• RQ4 为何在3+1维体时空中的球形子区域，此类扰动下一阶复杂度变化为零？
• RQ5 外曲率与平均曲率矢量的切向变分对整体复杂度变分的贡献是什么？

主要发现

• 在纯AdS₄背景上对加速黑brane扰动下，条带形子区域的全息子区域复杂度的一阶变化非零，且可通过非齐次Jacobi方程计算得出。
• 在相同扰动下，圆形圆盘形子区域的复杂度一阶变化亦非零，并通过相同的变分框架推导得出。
• 该方法通过求解表面形变的非齐次Jacobi方程，成功计算了复杂度变化，提供了一套系统性的微扰方法。
• 在3+1维体时空中的球形子区域，此类扰动下一阶复杂度变化为零，表明存在对称性保护的抵消机制。
• 该形式体系同时考虑了度量与嵌入变分，且证明切向贡献不影响最终的非齐次Jacobi方程，从而简化了计算。