[论文解读] Initial and Boundary Value Problems for Fractional differential equations involving Atangana-Baleanu Derivative

Fatma Al-Musalhi. Nasser Al-Salti, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过拉普拉斯变换和伏尔泰拉积分方程，为涉及阿坦加纳-巴莱阿努分数阶导数的初值问题（IVPs）提供了显式解析解。通过逐次逼近法和一种新颖的引理，简化了再生核，从而推导出闭式解，随后利用正交本征函数的级数展开，将该解应用于求解边界值问题。

ABSTRACT

Initial value problem involving Atangana-Baleanu derivative is considered. An Explicit solution of the given problem is obtained by reducing the differential equation to Volterra integral equation of second kind and by using Laplace transform. To find the solution of the Volterra equation, the successive approximation method is used and a lemma simplifying the resolvent kernel has been presented. The use of the given initial value problem is illustrated by considering a boundary value problem in which the solution is expressed in the form of series expansion using orthogonal basis obtained by separation of variables.

研究动机与目标

• 为涉及阿坦加纳-巴莱阿努分数阶导数的初值问题（IVPs）开发一种解析解法。
• 将分数阶微分方程转化为可解的第二类伏尔泰拉积分方程。
• 通过新推导的涉及Mittag-Leffler函数的引理，简化伏尔泰拉方程的再生核。
• 通过变量分离和正交基函数，将IVP解应用于有界空间区域内的边界值问题（BVP）。
• 在源项满足适当的正则性条件时，建立BVP解级数的存在性与一致收敛性。

提出的方法

• 利用分数阶积分定义，将阿坦加纳-巴莱阿努IVP转化为第二类伏尔泰拉积分方程。
• 对变换后的方程应用拉普拉斯变换，推导出显式解表达式。
• 使用逐次逼近法求解伏尔泰拉积分方程，并推导再生核。
• 引入一个新引理，将涉及广义Mittag-Leffler函数 $ E^i_{eta,eta} $ 的再生核简化。
• 通过变量分离并将解展开为傅里叶正弦级数，将IVP解应用于一维BVP。
• 利用 $ \sin(k\pi x) $ 的正交性，将PDE约化为一系列时间上的分数阶ODE，每项均可通过IVP方法求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用积分变换和逼近方法，显式求解涉及阿坦加纳-巴莱阿努分数阶导数的初值问题？
• RQ2 从这类分数阶IVP导出的伏尔泰拉积分方程中，再生核的结构是什么？能否被简化？
• RQ3 IVP的解析解能否有效应用于求解有界区域内的边界值问题？
• RQ4 在何种条件下，BVP的级数解一致收敛？对源项需要何种正则性假设？
• RQ5 核中Mittag-Leffler函数的使用如何影响解的行为与稳定性？

主要发现

• 通过拉普拉斯变换和逐次逼近法，为阿坦加纳-巴莱阿努IVP $ {}^{ABC}D^{eta}_0 u(t) - \lambda u(t) = f(t), \, u(0) = u_0 $ 推导出显式解。
• 建立了一个新引理，将伏尔泰拉方程的再生核简化为单个Mittag-Leffler函数项，显著降低了计算复杂度。
• 将IVP解应用于一维空间区域内的边界值问题，其中解以时间依赖系数的傅里叶正弦级数形式表达。
• 在条件 $ f(x,0) = 0 $，$ f(0,t) = f(1,t) = 0 $，$ f_t(x,t) \in L^1[0,T] $，以及 $ f_x(x,t) \in L^2[0,1] $ 下，BVP的级数解具有一致收敛性。
• 通过Mittag-Leffler函数的有界性与贝塞尔不等式，严格证明了 $ u(x,t) $，$ u_{xx}(x,t) $，以及 $ {}^{ABC}D^{eta}_0 u(x,t) $ 的一致收敛性。
• 通过 $ \{ \sin(k\pi x) \} $ 系统在 $ L^2(0,1) $ 中的完备性，证明了解的唯一性。