[论文解读] Initial and Boundary Value Problems for the Caputo Fractional Self-Adjoint Difference Equations

Kevin Ahrendt, Lydia DeWolf+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文建立了涉及阶数 $\nu \in (0,1]$ 的 Caputo 分数阶差分的自伴 nabla 分数阶差分方程的初值问题和边值问题（IBVPs）的理论。证明了存在性与唯一性定理，引入了用于常数变易法的柯西函数，并推导出适用于 Sturm-Liouville 边界条件的格林函数，同时证明了非线性边值问题分析所需的关键不等式。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of initial and boundary value problems for the self-adjoint nabla fractional difference equation containing a Caputo fractional nabla difference that is given by \[ abla[p(t+1) abla_{a*}^νx(t+1)] + q(t)x(t) = h(t), \] where $0 < ν\leq 1$. We give an introduction to the nabla fractional calculus with Caputo fractional differences. We investigate properties of the specific self-adjoint nabla fractional difference equation given above. We prove existence and uniqueness theorems for both initial and boundary value problems under appropriate conditions. We introduce the definition of a Cauchy function which allows us to give a variation of constants formula for solving initial value problems. We then show that this Cauchy function is important in finding a Green's function for a boundary value problem with Sturm-Liouville type boundary conditions. Several inequalities concerning a certain Green's function are derived. These results are important in using fixed point theorems for proving the existence of solutions to boundary value problems for nonlinear fractional equations related to our linear self-adjoint equation.

研究动机与目标

• 建立涉及 Caputo 分数阶 nabla 差分的初值问题和边值问题的严谨理论框架。
• 解决离散分数阶微积分中自伴分数阶差分方程缺乏系统处理的问题。
• 开发用于求解线性和非线性分数阶差分方程的工具，如柯西函数和格林函数。
• 为格林函数提供基础不等式，以支持非线性边值问题中不动点方法的应用。
• 通过聚焦于自伴框架下的 Caputo 定义，拓展离散分数阶微积分。

提出的方法

• 采用 nabla 分数阶微积分框架，通过分数阶求和与差分定义 Caputo 类型的分数阶差分。
• 应用离散 Caputo 泰勒定理，将解表示为初值和分数阶差分的函数。
• 引入柯西函数，以推导初值问题的常数变易公式。
• 利用方程的自伴结构，推导出 Sturm-Liouville 边值问题的格林函数。
• 使用上升阶乘和 Gamma 函数对格林函数建立界，证明 $\int_a^b |\nabla_t G(t,s)| \nabla s \leq \frac{b-a}{\nu+1}$。
• 运用分数阶求和与差分的复合规则，分析算子性质和解的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有 Caputo 类型分数阶差分的自伴 nabla 分数阶差分方程制定并求解初值问题和边值问题？
• RQ2 柯西函数在通过常数变易法构造初值问题解的过程中起什么作用？
• RQ3 在 Caputo 分数阶差分方程的背景下，如何为 Sturm-Liouville 边值问题推导格林函数？
• RQ4 格林函数的关键分析性质是什么，特别是其 $L^1$-范数行为？
• RQ5 对格林函数导出的不等式如何支持非线性分数阶差分方程的存在性理论？

主要发现

• 在系数和强迫函数满足适当条件时，初值问题和边值问题的解的存在性与唯一性得到证明。
• 通过柯西函数建立了常数变易公式，使得初值问题的解能够显式表示。
• Sturm-Liouville 边值问题的格林函数被显式构造，并证明其满足对所有 $t \in \mathbb{N}_a^b$ 有 $\int_a^b |\nabla_t G(t,s)| \nabla s \leq \frac{b-a}{\nu+1}$。
• 格林函数的界在 $t$ 上是一致的，最坏情况出现在 $t = a+1$，且该不等式对所有 $t \in \mathbb{N}_a^b$ 成立。
• 所导出的格林函数不等式对于应用不动点定理证明非线性分数阶差分方程解的存在性至关重要。
• 结果将经典离散微积分扩展至分数阶自伴系统，为离散分数阶环境下的非线性分析提供了工具。