[论文解读] Initial-boundary value problems for multi-term time-fractional diffusion equations with x-dependent coefficients

Zhiyuan Li, Xinchi Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文通过本征函数展开和Mittag-Leffler函数，建立了具有x-依赖系数的多术语时间分数阶扩散方程初值-边值问题解的唯一存在性与解析性。证明了解在长时间衰减速率由最低阶分数阶导数主导，并利用该解析性唯一确定了从单个内部点观测中得到的分数阶导数阶数。

ABSTRACT

In this paper, we discuss an initial-boundary value problem (IBVP) for the multi-term time-fractional diffusion equation with x-dependent coefficients. By means of the Mittag-Leffler functions and the eigenfunction expansion, we reduce the IBVP to an equivalent integral equation to show the unique existence and the analyticity of the solution for the equation. Especially, in the case where all the coefficients of the time-fractional derivatives are non-negative, by the Laplace and inversion Laplace transforms, it turns out that the decay rate of the solution for long time is dominated by the lowest order of the time-fractional derivatives. Finally, as an application of the analyticity of the solution, the uniqueness of an inverse problem in determining the fractional orders in the multi-term time-fractional diffusion equations from one interior point observation is established.

研究动机与目标

• 建立具有x-依赖系数的多术语时间分数阶扩散方程初值-边值问题（IBVPs）的适定性。
• 分析当时间趋于无穷时解的渐近行为，特别是由最低阶分数阶导数决定的衰减速率。
• 证明解在时间上的解析性，从而支持反问题的研究。
• 利用单个内部点观测，建立多术语时间分数阶扩散方程中分数阶导数阶数的唯一性。

提出的方法

• 通过空间域上的本征函数展开，将IBVP转化为等价的积分方程。
• 利用Mittag-Leffler函数表示解的时间部分，借助其在分数阶导数中的性质。
• 应用广义Gronwall不等式与不动点方法，证明解的唯一存在性与解析性。
• 通过拉普拉斯变换与逆拉普拉斯变换分析当所有系数非负时的长时间渐近行为。
• 利用解的解析性，通过拉普拉斯变换与反证法证明反问题中唯一性。
• 运用椭圆方程的正则性理论与Sobolev嵌入，分析解在拉普拉斯域中s→0+附近的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有x-依赖系数的多术语时间分数阶扩散方程初值-边值问题在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 解的长时间衰减行为如何依赖于时间导数的分数阶阶数？
• RQ3 能否从单个内部点观测唯一确定多术语时间分数阶扩散方程中的分数阶导数阶数？
• RQ4 解在时间变量上的解析性在求解此类方程的反问题中起到何种作用？
• RQ5 x-依赖系数的存在如何影响解的结构与衰减特性，相较于常系数情形有何不同？

主要发现

• 通过本征函数展开与Mittag-Leffler函数，证明了IBVP的解在(0, ∞)上唯一存在且关于时间解析。
• 当所有时间分数阶导数系数非负时，解的长时间衰减速率由$ t^{-\beta} $主导，其中$ \beta = \alpha_\ell $，即最小的分数阶阶数。
• 解在时间变量上的解析性使得能够从单个内部点观测唯一确定分数阶导数$ \alpha_1, \dots, \alpha_\ell $。
• 基于拉普拉斯变换与强最大值原理的反证法证明：若分数阶导数不同，则点观测值必不相同，从而证明唯一性。
• 当$ s \to 0^+ $时，解在拉普拉斯域中保持有界，且变换后解的极限收敛于$ H^2(\Omega) $中的非零函数，表明观测点处存在非零行为。
• 该方法扩展了以往关于常系数情形的结果，通过引入x-依赖系数，证明了在更一般条件下解的衰减速率与唯一性。