[论文解读] Initial Data Identification in Conservation Laws and Hamilton-Jacobi Equations

Rinaldo M. Colombo, Vincent Perrollaz|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文对一维标量守恒律与哈密顿-雅可比方程在固定正时间下演化为给定解剖面的初始数据提供了完整表征。它识别出产生特定解剖面的初始数据集合，证明了其凸性、极值结构及拓扑性质，如不存在有限维极值面。

ABSTRACT

In the scalar 1D case, conservation laws and Hamilton-Jacobi equations are deeply related. For both, we characterize those profiles that can be attained as solutions at a given positive time corresponding to at least one initial datum. Then, for each of the two equations, we precisely identify all those initial data yielding a solution that coincide with a given profile at that positive time. Various topological and geometrical properties of the set of these initial data are then proved. 2000 Mathematics Subject Classification: 35L65, 35F21, 93B30, 35R30.

研究动机与目标

• 表征所有在固定正时间 T 时生成给定解剖面的标量守恒律与哈密顿-雅可比方程的初始数据。
• 通过显式构造方法证明此类初始数据集合的非空性。
• 分析产生给定剖面的初始数据集合的拓扑与几何结构，包括凸性与极值性质。
• 证明产生给定剖面的初始数据集合是一个无有限维极值面的锥，并且当解剖面可达时，BV-正则初始数据始终存在。
• 通过从观测动力学中识别终端或初始代价，为守恒律中的反问题与最优控制提供框架。

提出的方法

• 利用守恒律与哈密顿-雅可比方程之间的对偶性，通过关系 $ u = \partial_x U $，其中 $ u $ 满足 (1.1) 而 $ U $ 满足 (1.2)。
• 应用 Oleïnik 型衰减估计，并对稀疏波进行精细化分析，以从时间 $ T $ 的给定剖面重构初始数据。
• 引入两个不相交的集合 $ X_i $ 与 $ X_{ii} $：在 $ X_i $ 上初始数据的取值唯一确定，而在 $ X_{ii} $ 上则受较宽松的约束。
• 运用粘性解与熵解理论以确保适定性，并通过哈密顿-雅可比方程表征解。
• 通过使用紧支集函数 $ A_k $ 构造初始数据的扰动，以证明解集的极值性与非空性。
• 采用向后构造方法，通过延长激波并分析相互作用势能，以确保在 $ (0,T) $ 上势能恒定，从而有助于解的唯一性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于标量守恒律或哈密顿-雅可比方程，哪些初始数据会在固定时间 $ T > 0 $ 时演化为给定的解剖面？
• RQ2 此类初始数据集合的拓扑与几何结构是怎样的，特别是关于凸性与极值点？
• RQ3 是否总能找出一个 BV-正则的初始数据，使其生成给定的解剖面，即使该剖面源自变差无界的初始数据？
• RQ4 产生给定剖面的初始数据集合是否具有有限维极值面，还是其为具有无限维结构的锥？
• RQ5 如何显式构造一个生成给定解剖面的初始数据，特别是在存在激波与稀疏波的情况下？

主要发现

• 产生给定剖面 $ w $ 于时间 $ T $ 的初始数据集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ 非空，当且仅当该剖面满足由稀疏波衰减与激波特性的结构条件。
• 集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ 是凸的，其唯一的极值点被完全表征为通过将所有激波向后时间延长所得到的初始数据。
• 集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ 是一个无有限维极值面的锥，表明对于给定剖面，初始数据的选择具有无限维自由度。
• 对于解算子像集中任意剖面 $ w $，总存在一个属于 $ \mathbf{BV}({\mathbb{R}};{\mathbb{R}}) $ 的初始数据，可生成该剖面，即使原始初始数据的变差无界。
• 集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ 始终包含单侧利普希茨连续函数，且根据剖面的不同，也可能存在更光滑的初始数据。
• 通过向后延长激波所构造的解，在 $ (0,T) $ 上具有恒定的相互作用势能，这是反设计与控制问题中的关键结构性性质。