[论文解读] Injective and projective Hilbert C*-modules, and C*-algebras of compact operators

Michael Frank, Vern I. Paulsen|ArXiv.org|Nov 12, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用 6

一句话总结

本文研究固定系数C*-代数上的内射与射影希尔伯特C*-模，重点在于有界模映射而非压缩映射。本文证明了所有关于希尔伯特空间上紧算子代数的希尔伯特C*-模都是内射且射影的，并通过模论性质提供了此类C*-代数的等价刻画。

ABSTRACT

We consider projectivity and injectivity of Hilbert C*-modules in the categories of Hilbert C*-(bi-)modules over a fixed C*-algebra of coefficients (and another fixed C*-algebra represented as bounded module operators) and bounded (bi-)module morphisms, either necessarily adjointable or arbitrary ones. As a consequence of these investigations, we obtain a set of equivalent conditions characterizing C*-subalgebras of C*-algebras of compact operators on Hilbert spaces in terms of general properties of Hilbert C*-modules over them. Our results complement results recently obtained by B. Magajna, J. Schweizer and M. Kusuda. In particular, all Hilbert C*-(bi-)modules over C*-algebras of compact operators on Hilbert spaces are both injective and projective in the categories we consider. For more general C*-algebras we obtain classes of injective and projective Hilbert C*-(bi-)modules.

研究动机与目标

• 刻画所有希尔伯特C*-模在有界模映射范畴中为内射或射影的C*-代数。
• 将经典意义上的内射性与射影性从巴拿赫空间与模推广至具有有界（不一定是压缩的）态射的希尔伯特C*-模。
• 澄清在伴随可映射与一般有界映射之间内射性的区别，特别是与正交补的关系。
• 提供一组等价条件，通过其希尔伯特C*-模的内射与射影性质来刻画紧算子代数的C*-代数。
• 解决希尔伯特C*-模理论中的开放问题，包括非射影模的存在性与非分裂正合序列的存在性。

提出的方法

• 在固定C*-代数A上的希尔伯特C*-模范畴中定义内射性与射影性，其中对象为希尔伯特C*-模，子对象为闭子模，态射为有界A-模映射。
• 使用扩展性质：若一个对象I满足其任意从子模M ⊆ N到I的有界A-模映射都能延拓为N上的有界映射，则I是内射的。
• 分析伴随可映射的作用：若包含映射要求为伴随可映射，则子模具有正交补，且所有希尔伯特C*-模均为内射。
• 证明对于紧算子代数，所有希尔伯特C*-模在有界A-模映射范畴中既是内射也是射影的，利用希尔伯特空间上紧算子的结构。
• 将满射有界模映射存在右逆的存在性与紧算子代数的短正合序列的分裂性联系起来。
• 利用左乘子理论与广义逆（如满足SS⁺S = S的S⁺）分析何时范数闭理想由有界映射生成，从而与射影性建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些C*-代数A满足所有希尔伯特A-模在有界A-模映射范畴中为内射？
• RQ2 在态射不一定是伴随可映射时，希尔伯特C*-模在有界模映射范畴中何时为射影？
• RQ3 当态射被限制为压缩映射与一般有界映射时，希尔伯特C*-模的内射性有何不同？
• RQ4 是否存在某些C*-代数上的非射影希尔伯特C*-模？这类模具有何种特征？
• RQ5 从希尔伯特C*-模到另一希尔伯特C*-模的满射有界A-模映射何时存在有界右逆？这与正合序列的分裂性有何关联？

主要发现

• 所有关于希尔伯特空间上紧算子代数的希尔伯特C*-模，在有界A-模映射范畴中都是内射且射影的。
• 若子模包含映射被要求为伴随可映射，则子模具有正交补，且所有希尔伯特C*-模均为内射。
• 有界映射范畴的理论比压缩情形更复杂；例如，希尔伯特空间在有界映射范畴中是内射的，而在压缩情形中并非如此。
• 满射有界A-模映射T存在有界右逆，当且仅当T·K_A(M⊕N)是K_A(M⊕N)的拓扑直和项，当且仅当像为正交直和项。
• 对于伴随可映射的满射，存在广义逆S⁺使得SS⁺S = S，可保证像为范数闭集，这是正合序列分裂的关键条件。
• 非射影希尔伯特C*-模的问题等价于存在无有界右逆的满射有界A-模映射，这一问题在非伴随可映射情形下仍为开放问题。