[论文解读] Injective envelopes and local multiplier algebras of C*-algebras

Michael Frank|ArXiv.org|Oct 21, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文证明了任意 C*-代数 $ A $ 的局部乘子代数 $ M_{\text{loc}}(A) $ 可以通过 *-同构嵌入到注入包络 $ I(A) $ 中，且两个代数中 $ A $ 的典范嵌入被识别为相同。关键结果是 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $ 当且仅当 $ A $ 是交换的，且 $ A $ 与 $ M_{\text{loc}}(A) $ 的注入包络始终一致。

ABSTRACT

The local multiplier C*-algebra M_{loc}(A) of any C*-algebra A can *-isomorphicly embedded into the injective envelope I(A) of A in such a way that the canonical embeddings of A into both these C*-algebras are identified. If A is commutative then M_{loc}(A) = I(A) . The injective envelopes of A and M_{loc}(A) always coincide, and every higher order local multiplier C*-algebra of A is contained in the regular monotone completion \bar{A} in I(A) of A . In case the set Z(A).A is dense in A the center of the local multiplier C*-algebra of A is the local multiplier C*-algebra of the center of A, and both they are *-isomorphic to the injective envelope of the center of A . A Wittstock type extension theorem for completely bounded bimodule maps on operator bimodules taking values in M_{loc}(A) is proven to hold if and only if M_{loc}(A) = I(A). In general, a solution of the problem for which C*-algebras A the C*-algebras M_{loc}(A) is injective is shown to be equivalent to the solution of I. Kaplansky's 1951 problem whether all AW*-algebras are monotone complete.

研究动机与目标

• 研究局部乘子代数与 C*-代数注入包络之间的结构关系。
• 确定局部乘子代数 $ M_{\text{loc}}(A) $ 与注入包络 $ I(A) $ 重合的条件。
• 考察当 $ Z(A)A $ 在 $ A $ 中稠密时，$ A $ 的中心在 $ M_{\text{loc}}(A) $ 结构中的作用。
• 建立 $ M_{\text{loc}}(A) $ 为注入代数的刻画，将其与 Kaplansky 1951 年提出的 AW*-代数单调完备性问题联系起来。

提出的方法

• 构造从 $ M_{\text{loc}}(A) $ 到 $ I(A) $ 的 *-同构，使得两个代数中 $ A $ 的典范嵌入被识别。
• 利用注入包络理论及 $ I(A) $ 内部的正规单调完备化理论分析包含关系。
• 应用一种 Wittstock 类型的完全有界双模映射扩张定理到 $ M_{\text{loc}}(A) $，证明其成立当且仅当 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $。
• 通过 $ A $ 的中心分析 $ M_{\text{loc}}(A) $ 的中心，证明在稠密性条件下有 $ Z(M_{\text{loc}}(A)) \cong M_{\text{loc}}(Z(A)) $。
• 证明 $ A $ 的高阶局部乘子代数始终包含于 $ I(A) $ 中 $ A $ 的正规单调完备化 $ \bar{A} $ 内。
• 将 $ M_{\text{loc}}(A) $ 的注入性问题约化为 Kaplansky 1951 年提出的 AW*-代数单调完备性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部乘子代数 $ M_{\text{loc}}(A) $ 与 $ A $ 的注入包络 $ I(A) $ *-同构？
• RQ2 何时 $ A $ 的注入包络与 $ M_{\text{loc}}(A) $ 的注入包络重合？
• RQ3 当 $ Z(A)A $ 在 $ A $ 中稠密时，$ M_{\text{loc}}(A) $ 的中心与 $ A $ 的中心的局部乘子代数之间有何关系？
• RQ4 对于哪些 C*-代数 $ A $，$ M_{\text{loc}}(A) $ 是注入代数，且这与 Kaplansky 1951 年的问题有何关联？
• RQ5 Wittstock 类型的完全有界双模映射扩张定理在 $ M_{\text{loc}}(A) $ 上成立，当且仅当 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $ 吗？

主要发现

• 局部乘子代数 $ M_{\text{loc}}(A) $ 可以以保持典范嵌入的方式 *-同构地嵌入到注入包络 $ I(A) $ 中。
• $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $ 当且仅当 $ A $ 是交换的。
• $ A $ 与 $ M_{\text{loc}}(A) $ 的注入包络始终同构。
• $ A $ 的每个高阶局部乘子代数都包含于 $ I(A) $ 中 $ A $ 的正规单调完备化 $ \bar{A} $ 内。
• 若 $ Z(A)A $ 在 $ A $ 中稠密，则 $ M_{\text{loc}}(A) $ 的中心与 $ M_{\text{loc}}(Z(A)) $ *-同构，且两者均与 $ I(Z(A)) $ *-同构。
• Wittstock 类型的完全有界双模映射扩张定理在 $ M_{\text{loc}}(A) $ 上成立当且仅当 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $。