[论文解读] Injective resolutions of BG and derived moduli spaces of local systems

Mikhail Kapranov|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文通过使用分类堆栈 BG 的内射化解析，构建了拓扑空间上局部系统的一个导出模空间，将经典模空间扩展为在导出意义下光滑的形式。关键贡献在于对局部系统模空间的导出增强，其切复形捕捉了李代数无穷小自同构层的完整上同调，而不仅仅是 Deligne、Drinfeld 和 Kontsevich 所提议的 H¹。

ABSTRACT

It was suggested on several occasions by Deligne, Drinfeld and Kontsevich that all the moduli spaces arising in the classical problems of deformation theory should be extended to natural "derived" moduli spaces which are always smooth in an appropriate sense and whose tangent spaces involve the entire cohomology of the sheaf of infinitesimal automorphisms, not just H^1. In this note we give an algebraic construction of such an extension for the simplest class of moduli spaces, namely for moduli of local systems (representations of the fundamental group).

研究动机与目标

• 实现 Deligne、Drinfeld 和 Kontsevich 所建议的局部系统模空间的导出增强。
• 构建一个在导出意义下光滑的导出模空间，避免经典模空间中存在的奇点。
• 将切空间描述从 H¹ 扩展至无穷小自同构层的完整上同调。
• 为最简单的形变问题类别（即局部系统）提供导出模空间的代数构造。
• 建立适用于基本群表示的导出形变理论的框架。

提出的方法

• 使用 BG 的内射化解析来建模局部系统模空间的导出结构。
• 通过同调代数技术构建分类堆栈 BG 的导出增强。
• 将无穷小自同构层的完整上同调复形用作导出模空间的切复形。
• 在代数几何与导出代数几何的框架内定义导出模空间函子。
• 应用同调代数技术，通过编码更高阶上同调数据来解决经典模空间中的奇点问题。
• 将导出模空间定义为一个导出堆栈，其形变理论捕捉了所有上同调信息。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典局部系统模空间增强为一个始终光滑的导出模空间？
• RQ2 局部系统模空间的正确导出切复形是什么？它与经典的 H¹ 描述有何不同？
• RQ3 是否可以使用 BG 的内射化解析来构建局部系统模空间的导出增强？
• RQ4 局部系统的导出模空间与无穷小自同构层的完整上同调之间有何关系？
• RQ5 何种代数构造实现了 Deligne、Drinfeld 和 Kontsevich 所构想的模空间导出增强？

主要发现

• 通过 BG 的内射化解析构建了局部系统的导出模空间，实现了对模空间的导出增强。
• 导出模空间的切复形同构于无穷小自同构层的完整上同调复形，而不仅仅是 H¹。
• 该构造实现了 Deligne、Drinfeld 和 Kontsevich 所提议的模空间导出增强，确保了在导出意义下的光滑性。
• 该方法为基本群表示的导出形变理论提供了具体的代数实现。
• 导出模空间捕捉了形变问题的完整上同调结构，解决了经典模空间中存在的奇点问题。
• 该框架表明，BG 的内射化解析可产生一个定义良好的导出模空间，其形变理论由完整的上同调复形所控制。