[论文解读] Inner Skin Effects on Non-Hermitian Topological Fractals

Sourav Manna, Bitan Roy|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2022

Topological Materials and Phenomena被引用 4

一句话总结

本文提出了非厄米（NH）拓扑分形中的内皮肤效应（ISE），证明了在周期性边界条件下，Sierpinski地毯晶格的内边界会出现宏观态局域化——这一现象在开放边界条件下此前无法实现。ISE在荷电与中性Majorana费米子中均表现为一阶（边缘）和二阶（角点）局域化，其内在机制与非平凡的NH拓扑不变量相关，为在光子、声子及拓扑电学电路中实验观测提供了可行路径。

ABSTRACT

Non-Hermitian (NH) crystals, quasicrystals and amorphous network display an accumulation of a macroscopic number of states near one of its specific interfaces with vacuum, such as edge, surface, hinge or corner. This phenomenon is known as the NH skin effect, which can only be observed with open boundary condition. In this regard self-similar fractals, manifesting inner boundaries in the interior of the system, harbor a novel phenomenon, the \emph{inner skin effect} (ISE). Then the NH skin effect appears at the inner boundaries of the fractal lattice with periodic boundary condition. We showcase this observation by implementing prominent models for NH insulators and superconductors on representative planar Sierpinski carpet fractal lattices. They accommodate both first-order and second-order ISEs at inner edges and corners, respectively, for charged as well as neutral Majorana fermions. Furthermore, over extended parameter regimes ISEs are tied with nontrivial bulk topological invariants, yielding intrinsic ISEs. With the recent success in engineering NH topological phases on highly tunable metamaterial platforms, such as photonic and phononic lattices, as well as topolectric circuits, the proposed ISEs can be observed experimentally at least on fractal metamaterials with periodic boundary condition.

研究动机与目标

• 研究由于自相似性而具有内在内边界的分形晶格中的非厄米（NH）皮肤效应。
• 证明在周期性边界条件（PBC）下，NH皮肤效应可在分形的内边缘和角点处出现，而这一现象在传统晶体中并不存在。
• 建立内皮肤效应（ISE）与非平凡体拓扑不变量（如NH Bott指标和NH四极矩）之间的联系。
• 探索在可调谐超材料平台（如光子、声子及拓扑电学电路）中实验观测ISE的可行性。

提出的方法

• 对具有开放与周期性边界条件的Sierpinski地毯分形晶格上的NH哈密顿量进行数值对角化。
• 通过保持离散对称性（如反射、旋转）并将布洛赫项替换为等效实空间跃迁项，从动量空间哈密顿量构建实空间哈密顿量。
• 引入指数衰减的有限范围跃迁，以确保分形晶格的完全连通性，同时保持拓扑特性。
• 计算NH拓扑不变量：使用NH Bott指标 $B_{\rm NH}$ 表征一阶ISE，使用NH四极矩 $Q^{\rm NH}_{xy}$ 表征二阶ISE，均基于半满基态。
• 通过左右本征态权重分布分析本征态局域化，以识别在外边界与内边界处的皮肤效应。
• 对比Sierpinski地毯（分形）、正方晶格（晶体）、Ammann-Beenker准晶及非晶网络中的NH皮肤效应，以分离出分形特异性现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 在周期性边界条件下，非厄米皮肤效应是否可在分形晶格的内边界处出现，而这一现象在传统晶体中并不存在？
• RQ2 一阶与二阶内皮肤效应在Sierpinski地毯分形中如何表现，且对荷电与中性Majorana费米子是否一致？
• RQ3 内皮肤效应在多大程度上与非平凡体拓扑不变量（如NH Bott指标与NH四极矩）相关？
• RQ4 分形几何在实现周期性或准晶体系中无法实现的新拓扑现象中起到何种作用？

主要发现

• 在周期性边界条件下，Sierpinski地毯分形的内边缘观察到一阶内皮肤效应，即使在外系统中PBC下无皮肤效应，仍存在大量本征态在内边界处宏观局域化。
• 在两个方向的周期性边界条件下，二阶内皮肤效应在内角点处出现，本征态权重集中于最内层角点，与开放边界条件下在外角点的局域化明显不同。
• 对于小的非厄米耦合强度，一阶ISE与非平凡NH Bott指标 $B_{\rm NH} = -1$ 内在关联，证实该效应具有拓扑起源。
• ISE在广泛的参数区域内持续存在，且对非厄米耦合强度的变化具有鲁棒性，表明其处于稳定拓扑相。
• 在正方晶格、准晶（如Ammann-Beenker）及非晶网络中，PBC下均未观察到内皮肤效应，凸显其对分形几何的特异性依赖。
• 结果表明，现有非厄米超材料平台（如光子、声子及拓扑电学电路）具备实验观测ISE的可行性，其中可工程化实现周期性边界条件。