[论文解读] Input-to-state stability of distributed parameter systems

Andrii Mironchenko|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2023

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 4

一句话总结

本 habilitation 论文建立了一个关于分布式参数系统中输入-状态稳定性（ISS）的全面框架，涵盖半线性及边界控制的PDE，采用李雅普诺夫方法、小增益定理和积分ISS准则。论文为线性和半线性系统提供了逆李雅普诺夫定理，证明了关键方程（如热方程和 Kuramoto-Sivashinsky 方程）的ISS性质，并为无限互联系统开发了非强制性李雅普诺夫函数和小增益条件。

ABSTRACT

Input-to-state stability (ISS) allows estimating the impact of inputs and initial conditions on both the intermediate values and the asymptotic bound on the solutions. ISS has unified the input-output and Lyapunov stability theories and is a crucial property in the stability theory of control systems as well as for many applications whose dynamics depend on parameters, unknown perturbations, or other inputs. In this habilitation thesis, we provide a broad picture of infinite-dimensional input-to-state stability theory.

研究动机与目标

• 为由PDE控制的无限维系统发展一个系统化的输入-状态稳定性（ISS）理论。
• 为具有无界输入算子的线性和半线性演化方程建立逆李雅普诺夫定理。
• 通过小增益技术将ISS分析扩展到边界控制系统和空间分布互联系统。
• 表征积分ISS，并为非线性抛物型和高阶PDE开发基于李雅普诺夫的准则。
• 为特定方程（如黏性Burgers方程和Kuramoto-Sivashinsky方程）提供严格的稳定性条件。

提出的方法

• 通过非强制性李雅普诺夫函数和耗散形式，推导半线性系统的ISS准则。
• 应用稠密性论证和弱解理论，处理演化方程中无界输入算子的问题。
• 利用谱分析和特征函数展开，证明关联Sobolev范数与L^p范数的不等式。
• 在最大值和求和两种形式下，为无限互联的ISS系统建立小增益定理。
• 应用Agmon型和Poincaré型不等式，以有界状态范数并推导稳定性条件。
• 采用比较函数和Dini导数分析稳定性特性与收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有分布或边界输入的半线性抛物系统是输入-状态稳定的？
• RQ2 能否为具有无界输入算子的线性和半线性分布式参数系统建立逆李雅普诺夫定理？
• RQ3 如何将小增益定理扩展至具有非线性增益的分布式参数系统无限互联？
• RQ4 何种李雅普诺夫函数结构可确保非线性抛物系统在Sobolev空间和L^p空间中的积分ISS？
• RQ5 微分算子的谱性质如何影响ISS李雅普诺夫函数的存在性与形式？

主要发现

• 为半线性系统建立了逆李雅普诺夫定理，表明ISS蕴含非强制性ISS李雅普诺夫函数的存在性。
• 通过基于H^1-范数的李雅普诺夫函数，证明了具有Dirichlet边界输入的热方程是ISS。
• 对于Kuramoto-Sivashinsky方程，构造了一个李雅普诺夫函数，利用不等式 ∫x_zz² - λ∫x_z² ≥ σ(λ)∫x²，其中σ(λ)严格递减且σ(4π²)=0。
• 证明了无限互联ISS系统在最大值形式下的小增益定理，确保在统一小增益条件下具有指数ISS。
• 论文证明了具有有界输入算子的线性系统存在ISS李雅普诺夫函数，包括P = -A⁻¹的特定算子情形。
• 对于对角系统，通过特征值的谱条件刻画了ISS，并显式构造了李雅普诺夫函数。