[论文解读] Input-to-state stability of infinite-dimensional systems: recent results and open questions

Andrii Mironchenko, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 4

一句话总结

本综述全面概述了无限维系统的输入-状态稳定性（ISS），通过将李雅普诺夫方法与输入-输出方法统一，分析了系统对扰动和初始条件的鲁棒性。该综述为线性和非线性偏微分方程（PDE）、边界控制系统、时滞系统以及互联网络建立了基础理论，提供了基于李雅普诺夫函数和小增益定理的稳定性分析与控制设计工具。

ABSTRACT

In a pedagogical but exhaustive manner, this survey reviews the main results on input-to-state stability (ISS) for infinite-dimensional systems. This property allows estimating the impact of inputs and initial conditions on both the intermediate values and the asymptotic bound on the solutions. ISS has unified the input-output and Lyapunov stability theories and is a crucial property in the stability theory of control systems as well as for many applications whose dynamics depend on parameters, unknown perturbations, or other inputs. In this paper, starting from classic results for nonlinear ordinary differential equations, we motivate the study of ISS property for distributed parameter systems. Then fundamental properties are given, as an ISS superposition theorem and characterizations of (global and local) ISS in terms of Lyapunov functions. We explain in detail the functional-analytic approach to ISS theory of linear systems with unbounded input operators, with special attention devoted to ISS theory of boundary control systems. The Lyapunov method is shown to be very useful for both linear and nonlinear models, including parabolic and hyperbolic partial differential equations. Next, we show the efficiency of the ISS framework to study the stability of large-scale networks, coupled either via the boundary or via the interior of the spatial domain. ISS methodology allows reducing the stability analysis of complex networks, by considering the stability properties of its components and the interconnection structure between the subsystems. An extra section is devoted to ISS theory of time-delay systems with the emphasis on techniques, which are particularly suited for this class of systems. Finally, numerous applications are considered in this survey, where ISS properties play a crucial role in their study. This survey suggests many open problems throughout the paper.

研究动机与目标

• 利用ISS作为核心框架，统一无限维系统的李雅普诺夫稳定性与输入-输出稳定性理论。
• 将ISS理论从有限维常微分方程（ODE）扩展至由偏微分方程（PDE）和时滞方程控制的分布参数系统。
• 发展并系统化基于李雅普诺夫函数的方法，用于分析具有无界输入算子的线性和非线性PDE系统的稳定性。
• 利用小增益定理将ISS应用于互联系统，包括通过边界或内部耦合的PDE网络。
• 识别并突出无限维系统ISS理论中的开放问题，特别是在边界控制和时滞系统方面。

提出的方法

• 利用ISS叠加定理，将ISS表征为无输入时的全局渐近稳定性和有输入时的全局吸引性之组合。
• 应用李雅普诺夫函数证明具有无界输入算子的线性系统满足ISS，特别是在边界控制设置下。
• 采用泛函分析技术，研究希尔伯特空间和巴拿赫空间中演化方程的适定性与稳定性。
• 应用非线性小增益定理，分析大规模无限维系统网络的稳定性。
• 通过专用的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函和时滞相关分析，将ISS理论适配于时滞系统。
• 将ISS与鲁棒控制方法相结合，包括反步法和反馈重构，用于具有不确定性的PDE系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用李雅普诺夫函数表征具有无界输入算子的无限维系统的ISS，特别是此类系统？
• RQ2 线性和非线性PDE系统（包括抛物型和双曲型方程）满足ISS的必要与充分条件是什么？
• RQ3 如何应用ISS分析通过边界或内部耦合的PDE网络等互联无限维系统的稳定性？
• RQ4 将ISS理论扩展至边界控制系统和时滞系统时面临的主要挑战和开放问题是什么？
• RQ5 在分布参数系统背景下，ISS如何统一并推广有限维稳定性概念？

主要发现

• ISS等价于存在一个光滑的ISS李雅普诺夫函数，将经典的质量-梅泽尔定理和库尔茨韦尔定理推广至含输入的系统。
• ISS叠加定理将ISS表征为：在无输入时的全局渐近稳定性和在有输入时的全局吸引性之组合。
• 对于具有无界输入算子的线性系统，可利用泛函分析方法和生成元的谱性质分析ISS。
• 通过考虑输入算子无界的特性，可利用基于李雅普诺夫的技术证明边界控制系统的ISS。
• 非线性小增益定理通过结合各子系统ISS特性与互连结构，实现了对大规模网络稳定性的分析。
• 通过为时滞相关动力学量身定制的ISS框架，可有效分析时滞系统，李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函提供了稳定性充分条件。