[论文解读] Insensitivity of the mean-field Limit of Loss Systems Under Power-of-d Routing

Thirupathaiah Vasantam, Arpan Mukhopadhyay+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 6

一句话总结

本文在一般服务时间分布下，建立了大规模多服务器损失系统中 Power-of-d 路由的均场极限的不变性。通过测度值马氏过程与鞅问题方法，证明了均场方程具有唯一不动点，且该不动点与指数服务时间情况下的结果一致，从而证实了对一般有限均值服务时间分布的不变性。

ABSTRACT

In this paper, we study large multi-server loss models under power-of-$d$ routing scheme when service time distributions are general with finite mean. Previous works have addressed the exponential service time case when the number of servers goes to infinity giving rise to a mean field model. The fixed point of limiting mean field equations (MFE) was shown to be insensitive to the service time distribution through simulation. Showing insensitivity to general service time distributions has remained an open problem. Obtaining the MFE in this case poses a challenge due to the resulting Markov description of the system being in positive orthant as opposed to a finite chain in the exponential case. In this paper, we first obtain the MFE and then show that the MFE has a unique fixed point that coincides with the fixed point in the exponential case thus establishing insensitivity. The approach is via a measure-valued Markov process representation and the martingale problem to establish the mean-field limit. The techniques can be applied to other queueing models.

研究动机与目标

• 解决关于损失系统中 Power-of-d 路由的均场不动点是否对一般服务时间分布具有不变性的开放问题。
• 建立具有非指数（非马氏）服务时间分布的系统之均场极限，此类系统缺乏指数情况下的马氏结构。
• 证明均场方程的不动点与指数情况相同，从而证实不变性。
• 开发一种通用框架，利用测度值过程与鞅问题方法，分析均场极限下的非马氏排队系统。

提出的方法

• 将系统建模为正卦形上的测度值马氏过程，通过一般服务时间的相型表示来刻画服务器状态。
• 利用鞅问题公式严格建立当 N → ∞ 时的均场极限，确保有限 N 系统过程弱收敛于确定性常微分方程系统。
• 基于每个服务器中任务数量与剩余相位数，定义状态依赖的转移率，从而建立均场方程（MFE）。
• 通过生成元的结构与收敛性论证，证明均场方程解的存在性与唯一性。
• 通过将平衡方程与指数情况对比，证明均场方程的不动点与服务时间分布无关。
• 利用 Prohorov 定理与遍历性，建立有限 N 系统的平稳分布收敛于均场不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当服务时间由一般分布而非指数分布替代时，采用 Power-of-d 路由的损失系统之均场不动点是否保持不变？
• RQ2 能否通过测度值过程方法，严格建立具有一般服务时间分布的非马氏系统之均场极限？
• RQ3 均场方程的不动点是否全局稳定且对服务时间分布不敏感？
• RQ4 分析均场极限下非马氏、正卦形扩散过程所需的数学工具是什么？

主要发现

• 均场极限存在，并通过鞅问题方法导出的常微分方程系统唯一刻画。
• 均场方程的不动点与指数服务时间情况下的结果完全相同，从而证实了对服务时间分布的不变性。
• 在具有有限均值的一般服务时间分布下，有限 N 系统收敛于均场极限的结论得以建立。
• 通过数值模拟显示从多种初始条件出发均收敛，证明了不动点的全局稳定性。
• 基于测度值过程与鞅问题的方法可推广至其他非马氏排队模型，包括多类系统与处理器共享系统。