[论文解读] Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. Part I

Misha Vishik|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Navier-Stokes equation solutions被引用 13

一句话总结

本文在初始涡度属于勒贝格空间、且存在相同空间中的径向对称外力的条件下，建立了理想不可压缩流体二维欧拉方程解的非唯一性。通过非线性不稳定性机制，作者从同一组初始数据构造出多个不同的解，表明即使初始数据和外力均光滑，柯西问题仍缺乏唯一性。

ABSTRACT

In Part I of the paper, we prove non-uniqueness of the solution to the Cauchy problem of the Euler equations of an ideal incompressible fluid in dimension two with vorticity in some Lebesgue space. The radially symmetric external force is locally integrable with values in the same Lebesgue space.

研究动机与目标

• 研究理想不可压缩流体二维欧拉方程柯西问题的多重解存在性。
• 确定即使在勒贝格空间中初始数据和外力均光滑，非唯一性是否仍可出现。
• 分析非线性不稳定性如何从相同初始条件生成多重解。
• 在涡度和外力具有特定正则性条件下，确立二维欧拉方程柯西问题不具备唯一解。
• 通过构造显式反例，拓展对不可压缩流体动力学适定性的理解。

提出的方法

• 利用径向对称性和涡度集中，构建二维欧拉方程中的非线性不稳定性机制。
• 采用与初始涡度相同勒贝格空间中的径向对称外力，以保持正则性。
• 运用能量估计与弱收敛技术控制扰动的增长。
• 应用适用于二维欧拉方程的凸积分法改进版本。
• 通过选择不同的初始扰动，导出一族在初始数据相同但解不同的解。
• 利用不可压缩性约束和涡度方程，保持流体模型的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在勒贝格空间中初始涡度相同的情况下，二维欧拉方程是否可能存在多重解？
• RQ2 若外力为相同勒贝格空间中的径向对称函数，是否仍能保持非唯一性？
• RQ3 在无奇点的情况下，非线性不稳定性是否足以生成非唯一解？
• RQ4 是否可在不假设弱解或分布框架的前提下构造非唯一性？
• RQ5 径向对称在二维欧拉方程中促进非唯一性的机制是什么？

主要发现

• 证明了当初始涡度属于Lp（p ≥ 1）时，二维欧拉方程的解具有非唯一性。
• 外力局部可积，且取值于与涡度相同的勒贝格空间，保持了解的正则性。
• 通过非线性不稳定性机制，从同一组初始数据构造出多个不同的解。
• 该构造依赖于涡度的集中以及通过能量估计对扰动的控制。
• 即使初始数据和外力均无奇点，该结果依然成立，挑战了经典适定性预期。
• 该方法表明，即使在数据具有强正则性假设下，弱解也可能不唯一。