[论文解读] Instability and nonuniqueness for the $2d$ Euler equations in vorticity form, after M. Vishik

Dallas Albritton, Elia Brué+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2021

Navier-Stokes equation solutions被引用 5

一句话总结

本文通过基于自相似坐标和线性不稳定性的新构造方法，证明了在初始涡度恒为零的情况下，二维欧拉方程在涡度形式下存在不可数无穷多个弱解。关键贡献在于，通过自相似算子的谱分析以及在旋转对称函数空间上的L yapunov-Schmidt约化，解决了Yudovich经典唯一性结果在$L^p$-尺度下对$p>2$的非唯一性问题。

ABSTRACT

In this expository work, we present Vishik's theorem on non-unique weak solutions to the two-dimensional Euler equations on the whole space, \[ \partial_t ω+ u \cdot abla ω= f \, , \quad u = \frac{1}{2π} \frac{x^\perp}{|x|^2} \ast ω\, , \] with initial vorticity $ω_0 \in L^1 \cap L^p$ and $f \in L^1_t (L^1 \cap L^p)_x$, $p < \infty$. His theorem demonstrates, in particular, the sharpness of the Yudovich class. An important intermediate step is the rigorous construction of an unstable vortex, which is of independent physical and mathematical interest. We follow the strategy of Vishik but allow ourselves certain deviations in the proof and substantial deviations in our presentation, which emphasizes the underlying dynamical point of view.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：在$p>2$的$L^p$-尺度下，二维欧拉方程的唯一性是否成立，从而扩展Yudovich的经典结果。
• 在适当的强迫和正则性条件下，构造出二维欧拉方程在零初始涡度下存在不可数无穷多个弱解。
• 证明经典Yudovich唯一性框架无法推广至$p>2$的$L^p$-尺度，即使在光滑且紧支集强迫下亦然。
• 基于自相似坐标和线性不稳定性理论，发展一个稳健的分析框架，以构造非唯一解。
• 建立解在正时间下具有$W^{1,4}_{\textrm{loc}}$正则性且在无穷远处具有良好衰减性，尽管在$t \downarrow 0$时出现退化。

提出的方法

• 使用自相似坐标将欧拉方程转化为自相似形式，将问题简化为分析一个时间无关算子$L_{\text{ss}}$。
• 采用背景场方法将解分解为主导轮廓和扰动部分，从而能够应用线性和非线性理论。
• 在旋转对称函数空间上对自相似算子$L_{\text{ss}}$进行详细的谱分析，识别出临界层处的中性模态。
• 应用L yapunov-Schmidt约化，将非线性问题约化为有限维分岔问题，利用Jordan块结构的优势。
• 通过谱参数的正式展开构造解族，依赖Plemelj公式及求解一个Rayleigh型方程。
• 利用加权范数和Bootstrap论证，建立$L^2$范数和导数估计，确保在扰动框架中非线性项得到控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在$p>2$的$L^p$-尺度下，超越Yudovich的经典$L^\frown\infty$框架，确立二维欧拉方程的非唯一性？
• RQ2 是否可能在光滑且紧支集强迫下，构造出二维欧拉方程在零初始涡度下存在不可数无穷多个弱解？
• RQ3 自相似算子$L_{\text{ss}}$的谱结构在产生非唯一性中起到何种作用？
• RQ4 自相似坐标和背景场方法如何在无初始涡度的情况下促进非唯一解的构造？
• RQ5 本文构造的解在正时间下表现出何种正则性和衰减性质？这些性质在$t \downarrow 0$时如何退化？

主要发现

• 对每个$p \in (2, \infty)$，存在不可数无穷多个弱解$(\omega, v)$，满足二维欧拉方程在涡度形式下，初始涡度$ \omega_0 \equiv 0$，且强迫项$f$光滑且紧支集。
• 所构造的解满足$\omega \in L^\infty([0,T], L^1 \cap L^p)$和$v \in L^\infty([0,T], L^2)$，对每个$T < \infty$成立，且$v$在$\mathbb{R}^2 \times [0,T]$上有界。
• 每个解在$t > 0$时具有空间与时间上的$W^{1,4}_{\textrm{loc}}$正则性，且在无穷远处具有衰减性质，但这些性质在$t \downarrow 0$时退化。
• 速度场$v$在$\mathbb{R}^2 \times (0,\infty)$上为$C^1_{\textrm{loc}}$，表明在正时间下正则性得到改善。
• 谱分析揭示出自相似算子$L_{\text{ss}}$具有Jordan块结构，这对非线性分岔和非唯一性构造至关重要。
• $\text{vorticity}$扰动的$L^2$范数随$k \to \infty$衰减为$\frac{\ln(4k)}{\ln^2 k}$，证实了线性化问题中存在一个中性模态。