[论文解读] Instability, index theorem, and exponential trichotomy for Linear Hamiltonian PDEs

Zhiwu Lin, Chongchun Zeng|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 5

一句话总结

本文在希尔伯特空间中为线性哈密顿PDE建立了结构分解，证明了演化群 $ e^{tJL} $ 的指数三合性，并推导出一个广义不稳定指数定理，将 $ L $ 的负指数与 $ JL $ 的广义特征空间维数（包括嵌入连续谱中的特征空间）联系起来。结果将经典指数定理推广至无界、不可逆的 $ J $，并为哈密顿扰动下谱不稳定的精确条件提供了依据。

ABSTRACT

Consider a general linear Hamiltonian system $\partial_{t}u=JLu$ in a Hilbert space $X$. We assume that$\ L: X o X^{*}$ induces a bounded and symmetric bi-linear form $\left\langle L\cdot,\cdot ight angle $ on $X$, which has only finitely many negative dimensions $n^{-}(L)$. There is no restriction on the anti-self-dual operator $J: X^{*} \supset D(J) o X$. We first obtain a structural decomposition of $X$ into the direct sum of several closed subspaces so that $L$ is blockwise diagonalized and $JL$ is of upper triangular form, where the blocks are easier to handle. Based on this structure, we first prove the linear exponential trichotomy of $e^{tJL}$. In particular, $e^{tJL}$ has at most algebraic growth in the finite co-dimensional center subspace. Next we prove an instability index theorem to relate $n^{-}\left( L ight) $ and the dimensions of generalized eigenspaces of eigenvalues of$\ JL$, some of which may be embedded in the continuous spectrum. This generalizes and refines previous results, where mostly $J$ was assumed to have a bounded inverse. More explicit information for the indexes with pure imaginary eigenvalues are obtained as well. Moreover, when Hamiltonian perturbations are considered, we give a sharp condition for the structural instability regarding the generation of unstable spectrum from the imaginary axis. Finally, we discuss Hamiltonian PDEs including dispersive long wave models (BBM, KDV and good Boussinesq equations), 2D Euler equation for ideal fluids, and 2D nonlinear Schrödinger equations with nonzero condition at infinity, where our general theory applies to yield stability or instability of some coherent states.

研究动机与目标

• 为分析具有无界、不可逆辛算子 $ J $ 的线性哈密顿PDE，建立一个通用框架。
• 建立状态空间的结构分解，使 $ L $ 块对角化，并将 $ JL $ 化为上三角形式，以利于谱分析。
• 证明 $ e^{tJL} $ 的指数三合性，表明中心子空间上至多存在多项式增长。
• 将不稳定指数定理推广至包含嵌入连续谱中的特征值，以及 $ J $ 不可逆的情形。
• 为哈密顿扰动在虚轴上生成不稳定谱时的结构性不稳定性提供精确条件。

提出的方法

• 基于负指数 $ n^-(L) $，将希尔伯特空间 $ X $ 分解为子空间 $ X_- \oplus \ker L \oplus X_+ $，以简化谱分析。
• 利用Riesz表示定理和 $ L $ 的有界性，定义等价内积，并将 $ JL $ 重新表述为有界算子的扰动。
• 应用复化技术处理纯虚特征值，并分析复化空间上 $ \tilde{J}\tilde{L} $ 的谱。
• 通过分析在不变子空间 $ X_- $、$ \ker L $ 和 $ X_+ $ 上的动力学，证明指数三合性，表明中心子空间上的增长受控。
• 推导出将 $ n^-(L) $ 与 $ JL $ 的广义特征空间总维数（包括具有纯虚特征值的那些）联系起来的指数计数公式。
• 利用 $ C^0 $-群的扰动理论分析哈密顿扰动下谱的稳定性，特别是虚轴上不稳定特征值的分岔。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ J $ 无界或不可逆时，线性哈密顿系统 $ \partial_t u = JL u $ 的谱性质与动力学特性如何分析？
• RQ2 负指数 $ n^-(L) $ 与 $ JL $ 的广义特征空间维数（包括嵌入连续谱中的特征空间）之间的确切关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，哈密顿扰动会从虚轴生成不稳定谱，且该条件如何精确刻画？
• RQ4 当中心子空间为有限余维时，$ e^{tJL} $ 的指数三合性如何将动力学分解为稳定、不稳定和中心分量？
• RQ5 二次型 $ \langle Lu, v \rangle $ 在确定哈密顿PDE中相干态的谱结构与稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 演化群 $ e^{tJL} $ 具有指数三合性，即使 $ \dim \ker L = \infty $，中心子空间 $ \ker L $ 上的生长至多为代数（多项式）增长。
• 证明了一个不稳定指数定理，将 $ n^-(L) $ 与 $ JL $ 的广义特征空间总维数联系起来，包括与嵌入连续谱中的纯虚特征值相关的部分。
• 当 $ L $ 在 $ X_+ $ 上不从下方有界时，仍可在弱化假设下获得改进的指数公式，从而扩展了理论的适用范围。
• 本文提供了结构性不稳定的精确条件：哈密顿扰动从虚轴生成不稳定谱，当且仅当该扰动破坏了在纯虚特征值的广义特征空间 $ E_{i\mu} $ 上 $ \langle L \cdot, \cdot \rangle $ 的非退化性。
• 对于KdV、BBM、好Boussinesq、二维Euler和二维NLS等PDE模型（在无穷远处具有非零条件），该理论为孤立波和周期行波等相干态的线性稳定性或不稳定性提供了精确判据。
• 复化算子 $ \tilde{J}\tilde{L} $ 满足 $ (\tilde{J}\tilde{L})^* = -\tilde{L}\tilde{J} $，且其谱关于实轴对称，这对分析纯虚谱点至关重要。