[论文解读] Instability of an inverse problem for the stationary radiative transport near the diffusion limit

Hongkai Zhao, Yimin Zhong|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了在小Knudsen数ε ≪ 1的扩散极限附近，具有角向独立源和角向平均测量的稳态辐射转移方程的反问题的不稳定性。研究证明，在扩散区（ε → 0）中，吸收系数σₐ的重构表现出指数不稳定性，而在输运区（ε不大）中则表现出Hölder不稳定性，揭示了不稳定性的根本性，取决于ε与测量噪声的相对尺度。

ABSTRACT

In this work, we study the instability of an inverse problem of radiative transport equation with angularly averaged measurement near the diffusion limit, i.e. the normalized mean free path (the Knudsen number) $0 < \eps \ll 1$. It is well-known that there is a transition of stability from Hölder type to logarithmic type with $\eps o 0$, the theory of this transition of stability is still an open problem. In this study, we show the transition of stability by establishing the balance of two different regimes depending on the relative sizes of $\eps$ and the perturbation in measurements. When $\eps$ is sufficiently small, we obtain exponential instability, which stands for the diffusive regime, and otherwise we obtain Hölder instability instead, which stands for the transport regime.

研究动机与目标

• 分析在稳态辐射转移方程中，从角向平均测量重构吸收系数σₐ的不稳定性。
• 确定基于Knudsen数ε的反问题稳定性在输运区与扩散区之间的过渡机制。
• 量化不稳定性对ε与测量扰动相对大小的依赖性。
• 在不同渐近区域建立精确的稳定性估计（指数型与Hölder型）。
• 解决输运理论中角向平均反问题缺乏完整唯一性与稳定性理论的问题。

提出的方法

• 利用Knudsen数ε ≪ 1对辐射转移方程进行尺度变换，以研究接近扩散极限的情形。
• 假设光学参数角向独立：σₜ(x)与σₛ(x)，且已知相函数p(v,v′) ≡ 1。
• 使用角向平均的albedo算子B: f(x) ↦ ∫_{nₓ·v>0} v·nₓ u|Γ₊(x,v) dμ(v)，将边界源映射为角向平均的边界测量。
• 通过傅里叶分析与奇异积分估计分析解算子，特别关注频域中核函数的行为。
• 应用Riesz-Thorin插值与Young不等式，以控制解与积分算子的L²范数。
• 通过比较积分算子(I − K₁)⁻¹的预解范数，推导出稳定性估计，表明其在扩散极限下按O(ε⁻²)增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 反问题中吸收系数σₐ的不稳定性如何依赖于Knudsen数ε？
• RQ2 当测量为角向平均时，σₐ重构的稳定性类型（指数型或Hölder型）为何种？
• RQ3 输运区与扩散区之间的过渡是否影响反问题的病态性？
• RQ4 能否为近扩散极限下的角向平均反问题导出精确的稳定性估计？
• RQ5 测量扰动与ε如何相互作用以决定整体不稳定性？

主要发现

• 当ε足够小时（扩散区），反问题在重构吸收系数σₐ时表现出指数不稳定性。
• 当ε不小时（输运区），不稳定性为Hölder型，表明病态性较弱。
• 不稳定性过渡由ε与测量扰动的相对大小决定：当ε ≪ 扰动时为指数型，否则为Hölder型。
• 积分算子(I − K₁)⁻¹的预解范数按O(ε⁻²)增长，这解释了在扩散极限下的指数不稳定性。
• 解u的L²范数被统一有界于O(‖f‖_{H³/²(∂D)})，且与ε无关，表明尽管反问题存在病态性，解本身仍保持稳定。
• 分析结果表明，角向平均的albedo算子B无法支持奇异值分解技术，从而证明了建立新稳定性估计的必要性。