[论文解读] Instability of the Abstract Rayleigh--Taylor Problem and Applications

Fei Jiang, Song Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文通过拉格朗日坐标系下的Bootstrap不稳定性方法，建立了分层粘性流体中抽象瑞利-泰勒问题在 $L^1$-范数下唯一不稳定强解的存在性。通过利用斯托克斯存在性理论和迭代技术对初始数据进行修改，以满足相容性条件，作者通过逆变换将结果从拉格朗日坐标系转换至欧拉坐标系，从而获得粘性、粘弹性及零电阻率磁流体动力学（MHD）流体的不稳定解，将不稳定性结果推广至此前未知的更低勒贝格范数。

ABSTRACT

We prove the existence of a unique unstable strong solution in the sense of $L^1$-norm for an abstract Rayleigh--Taylor (RT) problem arising from stratified viscous fluids in Lagrangian coordinates based on a bootstrap instability method. In the proof, we develop a method to modify the initial data of the linearized abstract RT problem based on an existence theory of unique solution of stratified (steady) Stokes problem and an iterative technique, so that the obtained modified initial data satisfy necessary compatibility conditions of the (original) abstract RT problem. Applying an inverse transformation of Lagrangian coordinates to the obtained unstable solution, and then taking proper values of parameters, we can further get unstable solutions for the RT problems in viscoelastic fluids, magnetohydrodynamics (MHD) fluids with zero resistivity and pure viscous fluids (with or without interface intension) in Eulerian coordinates. Our results can be also extended to the corresponding inhomogeneous case (without interface).

研究动机与目标

• 在最小正则性假设下，建立分层粘性流体中瑞利-泰勒问题不稳定解的存在性。
• 将不稳定性结果从 $L^2$ 范数和索博列夫–斯洛博德基伊范数推广至更弱的 $L^1$-范数，该范数为勒贝格空间中的最低范数。
• 通过抽象瑞利-泰勒问题的统一表述，统一分析粘性流体、粘弹性流体及零电阻率磁流体动力学（MHD）流体中的RT不稳定性。
• 发展一种方法，以修改线性化抽象RT问题的初始数据，使其满足原始非线性问题所必需的相容性条件。
• 通过逆变换展示抽象框架在欧拉坐标系中推导多种流体类型不稳定解的适用性。

提出的方法

• 采用Bootstrap不稳定性方法，在拉格朗日坐标系下构造抽象RT问题在 $L^1$-范数下的唯一不稳定强解。
• 利用分层（稳态）斯托克斯问题的唯一解存在性理论，对线性化RT问题的初始数据进行修改。
• 应用迭代技术调整初始数据，使其满足原始非线性抽象RT问题所要求的相容性条件。
• 对不稳定解应用从拉格朗日坐标到欧拉坐标系的逆变换，从而在物理空间中获得多种流体模型的解。
• 通过在抽象表述中选择适当的参数，将该方法扩展至具有或不具有界面张力的粘性流体、粘弹性流体以及零电阻率MHD流体。
• 分析依赖于水平周期性，并结合水平傅里叶变换与狄利克雷逼近定理的精细估计，以控制范数并确保不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在分层粘性流体的抽象瑞利-泰勒问题中，于 $L^1$-范数下构造出不稳定解？
• RQ2 是否可能对线性化抽象RT问题的初始数据进行修改，使其满足非线性问题所必需的相容性条件？
• RQ3 如何利用抽象RT问题框架，推导出具有零电阻率的粘弹性流体与MHD流体的不稳定解？
• RQ4 参数选择在从抽象表述中恢复不同流体类型不稳定解的过程中起什么作用？
• RQ5 能否将 $L^1$-范数下的不稳定性结果推广至无界面的非均匀粘性流体？

主要发现

• 在拉格朗日坐标系下，分层粘性流体中抽象瑞利-泰勒问题在 $L^1$-范数下存在唯一不稳定强解。
• 通过斯托克斯存在性理论与迭代技术，成功修改了线性化问题的初始数据，使其满足所需的相容性条件。
• 从拉格朗日坐标到欧拉坐标系的逆变换，得到了具有或不具有界面张力的粘性流体的不稳定解。
• 通过在抽象RT问题中选择适当的参数，获得了粘弹性流体与零电阻率MHD流体的不稳定解。
• 该方法建立了 $L^1$-范数下的不稳定性，该范数为最弱的勒贝格范数，从而将先前局限于 $L^2$ 或索博列夫–斯洛博德基伊范数的结果予以扩展。
• 分析结果表明，当参数选择可恢复感兴趣的物理模型时，不稳定性依然成立，包括无界面的非均匀粘性流体。