[论文解读] Instability of the solitary wave solutions for the genenalized derivative Nonlinear Schrödinger equation in the critical frequency case

Zihua Guo, Cui Ning+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文在临界频率边界 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ 处建立了广义导数非线性薛定谔方程孤波解的轨道不稳定性，其中 $ 1 < \sigma < 2 $。通过谱分析与变分方法，证明了在边界情况下的不稳定性，扩展了以往仅覆盖 $ \sigma > 3/2 $ 的结果，从而填补了该类方程稳定性理论中的一个空白。

ABSTRACT

We study the stability theory of solitary wave solutions for the generalized derivative nonlinear Schrödinger equation $$ i\partial_{t}u+\partial_{x}^{2}u+i|u|^{2σ}\partial_x u=0. $$ The equation has a two-parameter family of solitary wave solutions of the form \begin{align*} ϕ_{ω,c}(x)=φ_{ω,c}(x)\exp{\big\{ i\frac c2 x-\frac{i}{2σ+2}\int_{-\infty}^{x}φ^{2σ}_{ω,c}(y)dy\big\}}. \end{align*} Here $ φ_{ω,c}$ is some real-valued function. It was proved in \cite{LiSiSu1} that the solitary wave solutions are stable if $-2\sqrt{ω}

研究动机与目标

• 确定广义导数非线性薛定谔方程在临界频率边界 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ 处孤波解的稳定性状态，其中 $ z_0 \in (0,1) $ 满足 $ F_\sigma(z_0) = 0 $。
• 将已知的不稳定性结果从 $ \sigma > 3/2 $ 扩展至完整范围 $ 1 < \sigma < 2 $，填补现有稳定性理论中的空白。
• 在先前方法因作用泛函二阶变分退化而失效的临界点处，确立孤波的不稳定性。
• 对临界频率下孤波附近的线性化算符进行严格的谱分析，确认存在不稳定特征值。

提出的方法

• 利用孤波解的变分结构，其由频率 $ \omega $ 和速度 $ c $ 参数化，并分析作用泛函的二阶变分。
• 应用集中紧致性原理与谱理论，研究在 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ 处孤波附近的线性化算符，其中 $ z_0 \in (0,1) $ 满足 $ F_\sigma(z_0) = 0 $。
• 利用动量与质量守恒律，推导出涉及 $ \partial_\omega M $、$ \partial_c P $ 和 $ \partial_\omega P $ 的恒等式，用于计算比值 $ \mu/\nu = \sqrt{\omega} $。
• 推导出质量与动量对 $ \omega $ 和 $ c $ 的二阶导数的显式表达式，并利用它们计算作用泛函的黑塞矩阵。
• 分析与黑塞矩阵相关的二次型的符号，证明在临界条件下其为负定，从而依据 Grillakis、Shatah 与 Strauss 的不稳定性准则，表明系统不稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ 1 < \sigma < 2 $ 时，孤波解在临界频率 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ 处是否不稳定，此前结果尚不明确？
• RQ2 在临界频率下，作用泛函的二阶变分行为如何？其是否表明不稳定性？
• RQ3 在阈值 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ 处，质量与动量的导数行为如何？这对稳定性分类有何含义？
• RQ4 Grillakis、Shatah 与 Strauss 的不稳定性准则是否适用于线性化算符具有零特征值的边界情况？
• RQ5 参数 $ z_0 \in (0,1) $ 在确定 $ 1 < \sigma < 2 $ 范围内稳定性边界时起何作用？

主要发现

• 在 $ 1 < \sigma < 2 $ 时，孤波解在临界频率 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ 处为轨道不稳定，其不稳定性结果已扩展至 $ \sigma > 3/2 $ 之外。
• 在临界频率下，作用泛函的二阶变分为负定，通过标准不稳定性准则确认了不稳定性。
• 动量 $ P(\phi_{\omega,c}) $ 为正，并满足 $ P(\phi_{\omega,c}) = (\sigma - 1)\sqrt{\omega} M(\phi_{\omega,c}) $，与不稳定性区域一致。
• 比值 $ \mu/\nu = \sqrt{\omega} $ 由质量与动量的导数推导得出，该值用于计算作用泛函的黑塞矩阵。
• 显式计算出二阶导数 $ \partial_{\omega\omega}M $、$ \partial_{\omega c}P $ 与 $ \partial_{cc}P $，其组合形成负定的二次型。
• 通过证明二次型 $ \mu^2 \partial_{\omega\omega}P + 2\mu\nu \partial_{\omega c}P + \nu^2 \partial_{cc}P $ 为负，确认了切空间中存在负能量方向，从而验证了不稳定性。