[论文解读] Instanton counting in Class $\mathcal{S}_k$

Thomas Bourton, Elli Pomoni|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 78被引用 3

一句话总结

该论文通过 orbifolding Dp/D(p-4) 布朗尼系统并计算 K 个 D1 布朗尼在 T² orbifold 上的 2d 超共形指数，计算了类 Sk 中 4d N=1 超共形场论的瞬子划分函数。推导了 5d 和 4d 极限，验证了 k=1 时已知的 Nekrasov 划分函数，并确立了类 Sk 中的 SU(N) 簇理论源自 SU(kN) 母理论，通过在 Coulomb 模和质量上施加 orbifold 条件而实现。

ABSTRACT

We compute the instanton partition functions of $\mathcal{N}=1$ SCFTs in class $\mathcal{S}_k$. We obtain this result via orbifolding Dp/D(p-4) brane systems and calculating the partition function of the supersymmetric gauge theory on the worldvolume of $K$ D(p-4) branes. Starting with D5/D1 setups probing a $\mathbb{Z}_\ell imes \mathbb{Z}_k$ orbifold singularity we obtain the $K$ instanton partition functions of 6d $(1,0)$ theories on $\mathbb{R}^4 imes T^2$ in the presence of orbifold defects on $T^2$ via computing the 2d superconformal index of the worldvolume theory on $K$ D1 branes wrapping the $T^2$. We then reduce our results to the 5d and to the 4d instanton partition functions. For $k=1$ we check that we reproduce the known elliptic, trigonometric and rational Nekrasov partition functions. Finally, we show that the instanton partition functions of $SU(N)$ quivers in class $\mathcal{S}_k$ can be obtained from the class $\mathcal{S}$ mother theory partition functions with $SU(kN)$ gauge factors via imposing the `orbifold condition' $a_{\mathcal{A}} ightarrow a_A e^{2πi j/k}$ with $\mathcal{A}=jA$ and $A=1,\dots, N$, $j=1,\dots, k$ on the Coulomb moduli and the mass parameters.

研究动机与目标

• 计算类 Sk 中 4d N=1 超共形场论的瞬子划分函数。
• 通过计算包裹 orbifolded T² 的 D1-布郎尼上的超共形指数，建立类 Sk 理论的 2d/4d 对应关系。
• 从 6d 升维推导出瞬子划分函数的 5d 和 4d 极限。
• 通过 orbifold 投影验证所提出的 AGTk 对应关系以及类 Sk 与类 S 母理论之间的关系。
• 证明类 Sk 中的 SU(N) 簇理论通过在模和质量上施加 orbifold 条件，从 SU(kN) 规范理论中涌现出来。

提出的方法

• 通过在 IIB 弦理论中对 D3-布郎尼系统进行 Zℓ×Zk orbifolding 来构建类 Sk 理论。
• 使用 T duality 将 D3-布郎尼系统映射到 orbifolded T² 上的 D5-布郎尼系统，实现具有瞬子划分函数的 6d (1,0) 理论，该函数通过 2d 超共形指数计算得出。
• 通过使用 orbifolded 单字母指数和 pletystic 指数化，计算包裹 T² 的 K 个 D1-布郎尼的世界体积理论的 2d 超共形指数。
• 通过取 q→1 和 β₅→0 分别施加 5d 和 4d 极限于 6d 指数，得到 5d 和 4d 瞬子划分函数。
• 通过在 Coulomb 模和质量上施加 aA → aA e^{2πij/k} 的 orbifold 条件，推导出 orbifold 条件，将 SU(kN) 母理论映射为类 Sk 中的 SU(N) 簇理论。
• 使用围道积分表示法表达 5d 和 4d 的划分函数，其中显式表达式在附录 B.1–B.4 中推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从弦论构造出发计算 4d N=1 类 Sk SCFT 的瞬子划分函数？
• RQ2 包裹 orbifolded T² 的 D1-布郎尼上的 2d 超共形指数在计算类 Sk 理论的 6d 升维中起什么作用？
• RQ3 6d 瞬子划分函数的 5d 和 4d 极限如何重现 N=2* 和 N=2 簇理论的已知结果？
• RQ4 将 SU(kN) 母理论映射为类 Sk 中 SU(N) 簇理论的精确 orbifold 条件是什么？
• RQ5 所提出的 AGTk 对应关系能否通过瞬子划分函数的直接计算得到验证？

主要发现

• 类 Sk 的 6d 瞬子划分函数通过在 Zℓ×Zk orbifold 背景下包裹 T² 的 K 个 D1-布郎尼上的 2d 超共形指数计算得出。
• 当 k=1 时，4d 极限重现了已知的有理函数、三角函数和椭圆 Nekrasov 划分函数，与已有结果一致。
• orbifolded 划分函数的 5d 极限与已知的 5d N=2* 划分函数一致，验证了 5d 升维过程的正确性。
• 类 Sk 中 SU(N) 簇理论的 4d 瞬子划分函数通过在 Coulomb 模和质量上施加 orbifold 条件 aA → aA e^{2πij/k}，从 SU(kN) 母理论推导得出。
• 5d 和 4d 划分函数的围道积分表示法已显式推导，附录 B.1–B.4 提供了以双曲正弦和有理函数表示的完整表达式。
• 该计算建立了类 Sk 的 2d/4d 对应关系，通过 orbifolded 超共形指数将 4d/2d duality 推广至 N=1 理论。