[论文解读] Instanton counting on blowup, I

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 58

一句话总结

本文通过研究 $\mathbb R^4$ 的爆破上的瞬子模空间，对内克拉斯诺夫猜想提供了严格的数学证明，推导出一个对塞伯格-威滕预势方程进行变形的 Nekrasov 分区函数的微分方程。该工作建立了瞬子模空间上的等变积分与形变超对称 gauge 理论之间的精确联系。

ABSTRACT

We give a mathematically rigorous proof of Nekrasov's conjecture: the integration in the equivariant cohomology over the moduli spaces of instantons on $\mathbb R^4$ gives a deformation of the Seiberg-Witten prepotential for N=2 SUSY Yang-Mills theory. Through a study of moduli spaces on the blowup of $\mathbb R^4$, we derive a differential equation for the Nekrasov's partition function. It is a deformation of the equation for the Seiberg-Witten prepotential, found by Losev et al., and further studied by Gorsky et al.

研究动机与目标

• 提供一个数学上严格的证明，说明瞬子模空间上的等变积分与 N=2 超对称 Yang-Mills 理论的预势之间的关系。
• 研究 $\mathbb R^4$ 爆破上的瞬子模空间结构，以提取预势的形变性质。
• 推导出控制 Nekrasov 分区函数的微分方程，该方程推广了经典的塞伯格-威滕方程。
• 在超对称 gauge 理论的背景下，建立模空间的代数几何与量子场论之间的精确联系。

提出的方法

• 使用代数几何和等变上同调的技术，分析 $\mathbb R^4$ 爆破上的瞬子模空间。
• 计算这些模空间上的等变积分，以提取 Nekrasov 分区函数。
• 应用局部化技术，将积分简化为在环面作用下的不动点贡献。
• 通过研究爆破几何及其对瞬子计数的影响，推导出分区函数的微分方程。
• 通过引入爆破几何中的形变参数，推广经典塞伯格-威滕预势方程。
• 以洛谢夫、戈尔茨基及其他人的结果为基础，将其工作扩展为一个严格的数学框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb R^4$ 爆破上的瞬子模空间上，等变积分与 Nekrasov 分区函数之间有何关系？
• RQ2 在爆破几何背景下，控制 Nekrasov 分区函数的微分方程是什么？
• RQ3 所推导出的方程如何对经典塞伯格-威滕预势方程进行形变？
• RQ4 爆破几何以何种方式编码了对预势的量子修正？
• RQ5 能否通过模空间技术，严格确立瞬子计数与预势之间的猜想关系？

主要发现

• 本文通过证明在 $\mathbb R^4$ 爆破上的瞬子模空间上进行的等变积分，会生成塞伯格-威滕预势的形变，从而严格证明了内克拉斯诺夫猜想。
• 推导出一个 Nekrasov 分区函数的微分方程，该方程通过引入爆破几何中的形变参数，推广了经典的塞伯格-威滕方程。
• 所推导出的方程与洛谢夫、洛谢夫和内克拉斯诺夫先前发现的形变预势方程一致，现在在数学上得到了严格确立。
• 爆破空间上模空间的结构揭示了对经典预势的正确量子修正，证实了物理上的猜想。
• 该方法成功地通过等变上同调和局部化，将瞬子模空间的代数几何与量子场论联系起来。
• 该工作为以爆破的几何不变量来理解 Nekrasov 分区函数，提供了基础性的数学框架。