[论文解读] Instanton counting on blowup. II. $K$-theoretic partition function

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|ArXiv.org|May 25, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 25

一句话总结

本文为5D $υ$-形变 $υ$-超对称杨-米尔斯理论中的K-理论瞬子划分函数建立了一套爆破方程，证明了其在 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 处的正则性，并推导出秩2情形下亏格1项的显式表达式。通过等变K-理论与 $\mathbb{P}^2$ 的爆破上模空间的几何分析，作者推导出一组函数方程，唯一确定了划分函数及其预势极限。

ABSTRACT

We study Nekrasov's deformed partition function of 5-dimensional supersymmetric Yang-Mills theory compactified on a circle. Mathematically it is the generating function of the characters of the coordinate rings of the moduli spaces of instantons on $\mathbb R^4$. We show that it satisfies a system of functional equations, called blowup equations, whose solution is unique. As applications, we prove (a) logarithm of the partition function times $ε_1ε_2$ is regular at $ε_1 = ε_2 = 0$, (a part of Nekrasov's conjecture), and (b) the genus 1 parts, which are first several Taylor coefficients of the logarithm of the partition function, are written explicitly in terms of the Seiberg-Witten curves in rank 2 case.

研究动机与目标

• 证明内卡罗索夫的猜想：K-理论预势 $F^{\text{inst}}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ 在 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 处是正则的。
• 利用爆破方程，显式推导出秩2情形下预势的亏格1部分的表达式。
• 建立一组函数方程（爆破方程），唯一确定K-理论瞬子划分函数。
• 将文献[13]的方法从等变上同调推广至K-理论，以处理K-理论划分函数。

提出的方法

• 将K-理论瞬子划分函数定义为在 $\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上瞬子模空间的结构层上同调群特征标的生成函数。
• 利用阿蒂亚-博特-莱夫谢茨公式，将爆破上的相关函数表示为划分函数 $Z^{\text{inst}}$ 的形式。
• 证明爆破模空间上某些上同调群的消失性，从而导出函数方程。
• 推导出一组爆破方程，递归地确定 $Z^{\text{inst}}$ 中 $\mathfrak{q}^n$ 的系数。
• 取 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 极限，恢复同调版本，并推导出预势的接触项方程。
• 利用多 polylogarithm 恒等式与渐近展开，分析 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 极限，提取亏格1项。

实验结果

研究问题

• RQ1 K-理论瞬子划分函数是否如内卡罗索夫猜想的那样，在 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 处保持正则性？
• RQ2 能否利用爆破方程显式计算秩2情形下预势的亏格1部分？
• RQ3 爆破方程是否唯一确定K-理论划分函数及其预势？
• RQ4 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 极限下，K-理论划分函数与西伯格-温德利预势有何关系？

主要发现

• K-理论预势 $F^{\text{inst}}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ 在 $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ 处是正则的，证实了内卡罗索夫猜想的一部分。
• 秩2情形下预势的亏格1部分可显式表示为 $\tau = d^2 F^{\text{inst}}_0(0,0,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})/da^2$ 的形式。
• 爆破方程唯一确定了K-理论划分函数 $Z^{\text{inst}}$ 中 $\mathfrak{q}^n$ 的系数。
• 由爆破方程导出的接触项方程可递归地确定预势 $F^{\text{inst}}_0(\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ 的瞬子部分。
• 在 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 极限下，K-理论预势收敛至同调版本，且亏格1项与已知结果一致。
• 多 polylogarithm $\operatorname{Li}_k(e^{-\boldsymbol{\beta}x})$ 在 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ 时的渐近行为满足 $\beta^{k+1} \operatorname{Li}_{-k}(e^{-\boldsymbol{\beta}x}) \to k! x^{-k-1}$，从而可恢复经典极限。