[论文解读] Instanton counting via affine Lie algebras I: Equivariant J-functions of (affine) flag manifolds and Whittaker vectors

Alexander Braverman|ArXiv.org|Jan 29, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 54

一句话总结

本文引入了一个生成函数 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$，将 gauge 理论中的 instanton 计数与仿射李代数的表示理论统一起来。当 $P=G$ 时，该函数退化为 Nekrasov 的分划函数；当 $P$ 为 Borel 子群时，其等于 Langlands 对偶仿射李代数 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ 的通用 Verma 模中的 Whittaker 矩阵系数，从而将 instanton 计数与仿射 Toda 系统及旗流形的量子上同调联系起来。

ABSTRACT

For a semi-simple simply connected algebraic group G we introduce certain parabolic analogues of the Nekrasov partition function (introduced by Nekrasov and studied recently by Nekrasov-Okounkov and Nakajima-Yoshioka for G=SL(n)). These functions count (roughly speaking) principal G-bundles on the projective plane with a trivialization at infinity and with a parabolic structure at the horizontal line. When the above parabolic subgroup is a Borel subgroup we show that the corresponding partition function is basically equal to the Whittaker matrix coefficient in the universal Verma module over certain affine Lie algebra - namely, the one whose root system is dual to that of the affinization of Lie(G). We explain how one can think about this result as the affine analogue of the results of Givental and Kim about Gromov-Witten invariants (more precisely, equivariant J-functions) of flag manifolds. Thus the main result of the paper may considered as the computation of the equivariant J-function of the affine flag manifold associated with G (in particular, we reprove the corresponding results for the usual flag manifolds) via the corresponding "Langlands dual" affine Lie algebra. As the main tool we use the algebro-geometric version of the Uhlenbeck space introduced by Finkelberg, Gaitsgory and the author. The connection of these results with the Seiberg-Witten prepotential will be treated in a subsequent publication.

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{P}^2$ 上 instanton 模空间的 Uhlenbeck 型紧化空间上的等变 J-函数，将 Nekrasov 的分划函数推广到 $G$ 的抛物子群 $P \subset G$ 的情形。
• 建立 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 的渐近行为与 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ 的 Verma 模中 Whittaker 矩阵系数之间在 $P$ 为 Borel 子群时的精确对应关系。
• 通过图空间与 $\mathbb{C}^*$-等变积分，为计算仿射旗流形的等变量子上同调提供新的代数几何框架。
• 通过将 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 与仿射 Toda 系统联系起来，为证明任意规范群 $G$ 的 Seiberg-Witten 预势能猜想奠定基础。

提出的方法

• 将生成函数 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 定义为在 $\mathbb{P}^2$ 上带有无穷远线上 $P$-结构的 $G$-丛模空间的 Uhlenbeck 型紧化空间上，单位类的等变积分。
• 利用代数几何方法，定义 $\operatorname{Bun}_{G,P}$ 为在 $\mathbb{P}^2$ 上带有无穷远点处平凡化及在水平线上约化为 $P$ 的 $G$-丛的模空间。
• 应用 $\mathbb{C}^*$-等变局部化方法，计算图空间 $\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 上的积分，该空间参数化映射到 ${\mathcal{G}}_{G,P} \times \mathbb{P}^1$ 且在 $\mathbb{P}^1$ 上度数为 $\beta$ 的稳定映射。
• 依赖于图空间上 $\mathbb{C}^*$-作用的不动点与模空间 $\overline{\mathcal{M}}^{\beta_1}_{0,1}(G,P) \times \overline{\mathcal{M}}^{\beta_2}_{0,1}(G,P)$ 的乘积之间的同构，将积分化为对各分量的求和。
• 通过法丛计算，将图空间上的积分表示为基于模空间上的积分，并引入包含等变参数 $\hbar$ 与陈类 $c_\beta$ 的因子。
• 建立基于图空间 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 到基于 Quot 模式 ${}^\text{b}\mathcal{QM}^\beta_{G,P}$ 的双有理 $M$-等变映射，证明二者等变积分相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $\mathbb{P}^2$ 上 instanton 模空间的背景下，将 Nekrasov 的分划函数推广至包含 $G$ 的抛物子群 $P \subset G$ 的情形？
• RQ2 当 $P$ 为 Borel 子群时，${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 的精确代数几何解释是什么？它与表示理论有何关联？
• RQ3 能否通过图空间技术，利用生成函数 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 计算仿射旗流形的等变量子上同调？
• RQ4 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 的渐近行为如何导致 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ 的通用 Verma 模中 Whittaker 向量的出现？
• RQ5 能否利用此框架证明任意 $G$ 的 Seiberg-Witten 预势能猜想？

主要发现

• 当 $P=G$ 时，生成函数 ${\mathcal{Z}}_{G,G}^{{\operatorname{aff}}}$ 与 Nekrasov 的分划函数一致，对 $G=SL(n)$ 恢复了已知结果。
• 当 $P$ 为 Borel 子群时，${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ 等于 Langlands 对偶仿射李代数 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ 的通用 Verma 模中的 Whittaker 矩阵系数。
• 基于图空间 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 上单位类的积分等于基于 Quot 模式 ${}^\text{b}\mathcal{QM}^\beta_{G,P}$ 上的积分，这是由于存在一个合适的双有理 $M$-等变映射。
• 基于图空间 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 上的等变积分可表示为 $\int_{{}^\text{b}{\overline{\mathcal{M}}}^{\beta}_{0,1}(G,P)} \frac{1}{\hbar(c_\beta + \hbar)}$，从而将几何与等变上同调联系起来。
• 该框架通过局部化与图空间技术，为 [13] 和 [18] 中普通旗流形的量子上同调结果提供了新证明。
• 该结果建立了 instanton 计数、仿射 Toda 系统与 Seiberg-Witten 预势能之间的桥梁，为证明 [23] 中关于任意 $G$ 的主要猜想铺平了道路。