[论文解读] Instanton moduli spaces on non-K\\"ahlerian surfaces. Holomorphic models around the reduction loci

Andrei Teleman|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究非凯勒曲面上瞬子模空间的全纯结构，聚焦于环面型约化轨线邻域。通过一种爆破-翻转构造，本文证明：在正则约化环面附近，模空间的爆破边界邻域，全纯等价于一个模型“翻转通道”空间的边界邻域，从而为模空间在奇点附近的结构提供了全纯局部模型。

ABSTRACT

Let $\\mathcal{M}$ be a moduli space of polystable rank 2-bundles bundles with fixed determinant (a moduli space of $\\mathrm{PU}(2)$-instantons) on a Gauduchon surface with $p_g=0$ and $b_1=1$. We study the holomorphic structure of $\\mathcal{M}$ around a circle $\\mathcal{T}$ of regular reductions. Our model space is a "blowup flip passage", which is a manifold with boundary whose boundary is a projective fibration, and whose interior comes with a natural complex structure. We prove that a neighborhood of the boundary of the blowup $\\hat{\\mathcal{M}}_{\\mathcal{T}}$ of $\\mathcal{M}$ at $\\mathcal{T}$ can be smoothly identified with a neighborhood of the boundary of a "flip passage" $\\hat Q$, the identification being holomorphic on $\\mathrm{int}(\\hat Q)$.

研究动机与目标

• 理解在 p_g=0 且 b_1=1 的非凯勒曲面上，PU(2)-瞬子模空间的局部全纯结构。
• 为模空间中正则约化环面邻域构造一个全纯模型。
• 在模空间的爆破边界邻域与一个模型“翻转通道”空间之间建立全纯同构。
• 通过提供模空间中奇点的几何解析，将唐纳森理论的应用范围扩展至非凯勒情形。

提出的方法

• 在模空间 $\mathcal{M}$ 的正则约化环面 $\mathcal{T}$ 处构造其爆破 $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$。
• 定义一个称为“爆破-翻转通道”的模型空间 $\hat{Q}$，该空间为带边界的流形，其内部自然具有复结构。
• 证明 $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ 的边界邻域与 $\hat{Q}$ 的边界邻域之间存在光滑微分同胚。
• 证明该微分同胚在 $\hat{Q}$ 的内部是全纯的，从而确立了全纯局部模型。
• 利用加杜奇昂曲面上的小池-希钦对应，将埃尔米特-爱因斯坦联络与秩 2 向量丛上的全纯结构联系起来。
• 借助埃尔米特-爱因斯坦联络模空间与全纯丛模空间之间的同构，转移几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非凯勒曲面上正则约化环面附近的瞬子模空间构造一个全纯局部模型？
• RQ2 在该约化轨线处，模空间爆破的边界邻域的精确几何结构是什么？
• RQ3 “翻转通道”构造能否作为非凯勒几何中可约瞬子所导致奇点的全纯模型？
• RQ4 爆破-翻转构造在约化轨线附近在多大程度上保持了复结构？
• RQ5 小池-希钦对应在加杜奇昂曲面上如何促进瞬子模空间全纯模型的构造？

主要发现

• 在正则约化环面 $\mathcal{T}$ 处，模空间的爆破 $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ 的边界邻域，微分同胚于一个模型“翻转通道”空间 $\hat{Q}$ 的边界邻域。
• 在 $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ 与 $\hat{Q}$ 之间建立的微分同胚在 $\hat{Q}$ 的内部是全纯的，从而为约化轨线附近的模空间提供了全纯局部模型。
• 爆破的边界 $\mathcal{P}_{\lambda} = p_{\lambda}^{-1}(\mathcal{T}_{\lambda})$ 是环面 $\mathcal{T}_{\lambda}$ 上的射影纤维丛，其纤维同构于 $\mathbb{CP}^{k-1}$（$k$ 为某整数）。
• 爆破构造在解析约化轨线奇点的同时，保持了内部的复结构。
• 在 $p_g=0$、$b_1=1$ 的加杜奇昂曲面上，$\mathrm{PU}(2)$-瞬子模空间在约化环面附近可通过爆破-翻转构造获得全纯模型。
• 本研究通过提供具有全纯控制的约化轨线几何解析，将唐纳森理论的应用范围扩展至非凯勒曲面。