[论文解读] Instantons and affine algebras I: The Hilbert scheme and vertex operators

I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 29

一句话总结

本文通过曲面上传播的代数曲线所关联的对应关系，建立了仿射李代数作用在瞬子模空间上同调上的几何实现。结果表明，该表示的中心荷等于规范群的秩，而对于 U(1)-瞬子，该构造给出了弗伦克尔-卡克基本表示，且二阶陈特征类的二次型与度算符的本征值一致。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers which describe the action of an affine Lie algebra with central charge $n$ on the moduli space of $U(n)$-instantons on a four manifold $X$. This generalises work of Nakajima, who considered the case when $X$ is an ALE space. In particular, this describes the combinatorial complexity of the moduli space as being precisely that of representation theory, and thus will lead to a description of the Betti numbers of moduli space as dimensions of weight spaces. This Lie algebra acts on the space of conformal blocks (iė\., the cohomology of a determinant line bundle on the moduli space) generalising the ``insertion'' and ``deletion'' operations of conformal field theory, and indeed on any cohomology theory. In the particular case of $U(1)$-instantons, which is essentially the subject of this present paper, the construction produces the basic representation after Frenkel-Kac. Then the well known quadratic nature of $ch_2$, $$ch_2 = \frac{1}{2} c_1\cdot c_1 - c_2 $$ becomes precisely the formula for the eigenvalue of the degree operator, iė\. the well known quadratic behaviour of affine Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过在任意代数曲面上构造 U(n)-瞬子模空间上的仿射李代数作用，将中岛的工作从 ALE 空间推广至一般代数曲面。
• 解释模空间的组合复杂性源于仿射李代数的表示理论。
• 证明该表示的中心荷等于规范群 U(n) 的秩 n。
• 建立瞬子模空间上行列式线丛的上同调（共形块）携带仿射李代数作用，推广共形场论操作。
• 证明对于 U(1)-瞬子，该构造给出弗伦克尔-卡克基本表示，且二阶陈特征类的二次型与度算符本征值相对应。

提出的方法

• 利用曲面 X 上的代数曲线 Σ ⊂ X，在 U(n)-瞬子模空间上构造对应关系，诱导上同调理论中的映射。
• 证明这些对应关系满足定义仿射李代数的对易关系，其根系由上同调格子 H²(X, ℤ) 确定。
• 通过沿曲线的初等修改构造生成仿射海森堡代数的算符，尤其在 U(1) 情形下。
• 证明所得表示的中心荷恰好等于规范群 U(n) 的秩 n。
• 将模空间上行列式线丛的上同调识别为共形块空间，并赋予仿射李代数作用。
• 借助希尔伯特概形（U(1) 情形）的几何结构，通过顶点算符实现仿射卡茨-莫代尔代数的基本表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在代数曲面 X 上的 U(n)-瞬子模空间上几何化实现仿射李代数的作用？
• RQ2 代数曲线在生成诱导上同调上李代数作用的对应关系中起什么作用？
• RQ3 为何该表示的中心荷等于规范群 U(n) 的秩 n？
• RQ4 二阶陈特征类的二次型如何与表示中度算符的本征值相关联？
• RQ5 U(1) 情形下弗伦克尔-卡克基本表示的几何起源是什么？

主要发现

• 在曲面 X 上的 U(n)-瞬子模空间上，自然地作用着一个中心荷为 n 的仿射李代数。
• 与代数曲线相关的对应关系生成一个仿射李代数，其结构由上同调格子 H²(X, ℤ) 决定。
• 对于 U(1)-瞬子，该构造给出仿射卡茨-莫代尔代数的弗伦克尔-卡克基本表示。
• 二阶陈特征类满足 ch₂ = ½c₁·c₁ − c₂，该式恰好与仿射李代数表示中度算符本征值公式一致。
• 模空间上行列式线丛的上同调实现了共形块空间，并携带仿射李代数作用。
• 该表示的中心荷被识别为规范群的秩 n，与 S 对偶性预测一致。