[论文解读] Instantons and Annular Khovanov Homology

Yi Xie|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文引入了厚环面中链的环状瞬子弗洛尔同调，并构建了一个从环状科瓦罗夫同调到该瞬子同调的谱序列。关键结果是，当链的分量为零同调时，该谱序列能检测环面上的平凡链，且为辫子与其它链的区分提供了新证明。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the annular instanton Floer homology which is defined for links in a thickened annulus. It is an analogue of the annular Khovanov homology. A spectral sequence whose second page is the annular Khovanov homology and which converges to the annular instanton Floer homology is constructed. As an application of this spectral sequence, we prove that the annular Khovanov homology detects the unlink in the thickened annulus (assuming all the components are null-homologous). Another application is a new proof of Grigsby and Ni's result that tangle Khovanov homology distinguishes braids from other tangles.

研究动机与目标

• 为厚环面上的链定义一种新不变量，即环状瞬子弗洛尔同调。
• 建立从环状科瓦罗夫同调到环状瞬子弗洛尔同调的谱序列，保持三重分次结构。
• 应用该谱序列，证明当所有分量为零同调时，环状科瓦罗夫同调能检测环面上的平凡链。
• 通过谱序列和瞬子同调的已知结果，为链同调区分辫子提供新证明。

提出的方法

• 在奇异瞬子弗洛尔同调框架下，将环状瞬子弗洛尔同调定义为环状科瓦罗夫同调的类比。
• 构造一个谱序列，其E2页为链的镜像的环状科瓦罗夫同调，且收敛于环状瞬子弗洛尔同调。
• 证明该谱序列保持三重分次结构，包括此语境下引入的新分次。
• 利用谱序列通过度数分量分解，将链同调科瓦罗夫同调与链同调瞬子弗洛尔同调联系起来。
• 应用克罗尼默和姆罗瓦卡的萨图雷德流形瞬子弗洛尔同调，证明在满足可接受曲面条件时，环状瞬子同调的非零结果。
• 利用消去法及不同cobordism间瞬子同调群之间的同构关系，将链与纽结不变量联系起来，特别是对纽结的缆绳。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在环状设定下，从环状科瓦罗夫同调构造一个到新瞬子弗洛尔同调不变量的谱序列？
• RQ2 当所有分量为零同调时，环状科瓦罗夫同调是否能检测厚环面上的平凡链？
• RQ3 该谱序列能否用于重新证明链同调科瓦罗夫同调能区分辫子？
• RQ4 是否存在从约化彩色科瓦罗夫同调到约化奇异瞬子弗洛尔同调的谱序列的一般化，适用于S^3中的纽结？

主要发现

• 存在一个从链的镜像的环状科瓦罗夫同调到其环状瞬子弗洛尔同调的谱序列，其E2页为环状科瓦罗夫同调，极限为环状瞬子弗洛尔同调。
• 该谱序列保持环状科瓦罗夫同调的三重分次结构，包括在此语境下引入的新分次。
• 当所有分量为零同调时，环状科瓦罗夫同调能检测厚环面上的平凡链，因为除非链是平凡的，否则环状瞬子弗洛尔同调会消失。
• 该谱序列诱导出从链同调科瓦罗夫同调到链同调瞬子弗洛尔同调的相应谱序列，从而为辫子检测结果提供了新证明。
• 对于环面上的闭链，链同调科瓦罗夫同调同构于环状科瓦罗夫同调的第i个度数分量，瞬子同调亦同理。
• 建立了从约化n-彩色科瓦罗夫同调到约化奇异瞬子弗洛尔同调的谱序列，将先前结果推广至彩色情形。