[论文解读] Instantons and branes in manifolds with vector cross product

Jae-Hyouk Lee, Naichung Conan Leung|ArXiv.org|Feb 3, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一套统一框架，用于研究具有向量叉积（VCP）结构的流形中的瞬子与膜。结果表明，卡拉比-丘与超凯勒流形是唯一具有复结构的向量叉积的凯勒流形。本文证明，卡拉比-丘流形的各向同性纽结空间自然地具有全纯辛结构，通过VCP形式的上同调转移，将卡拉比-丘几何与全息辛几何联系起来。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of manifolds with vector cross product and its complexification. First we develop the theory of instantons and branes and study their deformations. For example they are (i) holomorphic curves and Lagrangian submanifolds in symplectic manifolds and (ii) associative submanifolds and coassociative submanifolds in G_2-manifolds. Second we classify Kahler manifolds with the complex analog of vector cross product, namely they are Calabi-Yau manifolds and hyperkahler manifolds. Furthermore we study instantons, Neumann branes and Dirichlet branes on these manifolds. For example they are special Lagrangian submanifolds with phase angle zero, complex hypersurfaces and special Lagrangian submanifolds with phase angle pi/2 in Calabi-Yau manifolds. Third we prove that, given any Calabi-Yau manifold, its isotropic knot space admits a natural holomorphic symplectic structure. We also relate the Calabi-Yau geometry of the manifold to the holomorphic symplectic geometry of its isotropic knot space.

研究动机与目标

• 将向量叉积的概念推广至复几何，并对具有复向量叉积的凯勒流形进行分类。
• 通过VCP结构，将特殊拉格朗日子流形、关联子流形及全息曲线等校准子流形的几何统一于同一框架之下。
• 通过VCP形式的上同调转移，建立卡拉比-丘流形与其各向同性纽结空间之间几何关系的对应，后者具有全息辛几何结构。
• 将物理与拓扑不变量（如塞伯格-威滕不变量）与G2-和卡拉比-丘流形中膜所包围的瞬子计数联系起来。
• 探索各向同性纽结空间作为镜像对称的对偶几何模型的潜力，通过全息辛几何中的扭量旋转实现。

提出的方法

• 将复向量叉积（C-VCP）定义为实向量叉积的推广，利用复结构在切丛上定义一个全息微分形式。
• 将瞬子表征为在切空间上VCP张量消失的子流形，确保其为校准且极小。
• 将膜定义为法丛微分同构于r次VCP形式空间的子流形，其形变由闭形式参数化。
• 对固定的(r-1)维流形Σ，构造纽结空间$\mathcal{K}_\Sigma M = \mathrm{Map}(\Sigma, M)_{\text{emb}} / \mathrm{Diff}(\Sigma)$，并证明VCP形式φ的上同调转移在该空间上诱导出一个闭的2-形式。
• 证明在卡拉比-丘流形M下，各向同性纽结空间$\widehat{\mathcal{K}}_\Sigma M$上的上同调2-形式是非退化的，并与$L^2$度量相容，从而在M为卡拉比-丘时赋予其全息辛结构。
• 利用局部化与形变理论，证明纽结空间中的拉格朗日子流形对应于M中相位为$-\pi/2$的特殊拉格朗日子流形，而复拉格朗日子流形则源于$J$-全息或$K$-复拉格朗日结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些凯勒流形允许复向量叉积？其几何分类为何？
• RQ2 具有VCP结构的流形中，瞬子与膜如何推广已知的校准子流形（如特殊拉格朗日子流形与关联子流形）？
• RQ3 卡拉比-丘流形的各向同性纽结空间能否自然地赋予全息辛结构？其与原始卡拉比-丘几何有何关联？
• RQ4 上同调转移的VCP形式在纽结空间上诱导辛结构的过程中起何作用？其与陈-西蒙斯理论或M-理论等物理理论有何关联？
• RQ5 斯特罗明格-亚乌-扎斯洛镜像对称猜想是否可被解释为全息辛几何中纽结空间上全息辛结构的扭量旋转？

主要发现

• 唯一允许复向量叉积的凯勒流形是卡拉比-丘流形与超凯勒流形。
• 卡拉比-丘流形$M$的各向同性纽结空间$\widehat{\mathcal{K}}_\Sigma M$通过VCP形式的上同调转移，自然地赋予全息辛结构。
• 在$M$中相位$\theta = 0$的特殊拉格朗日子流形，经纽结空间构造后，对应于$\widehat{\mathcal{K}}_\Sigma M$中的复拉格朗日子流形。
• 在复VCP设定下，内森膜（N-膜）被识别为卡拉比-丘流形中的复超曲面，而狄利克雷膜（D-膜）则为相位$-\pi/2$的特殊拉格朗日子流形。
• 膜的形变理论无阻碍，其无穷小形变由膜上闭的VCP形式参数化，膜的模空间光滑。
• 该构造实现了$M$中校准子流形与纽结空间中全息或拉格朗日子流形之间的几何对应，暗示卡拉比-丘几何与全息辛几何之间存在对偶性。