[论文解读] Instantons beyond topological theory II

Edward Frenkel, A. Losev+1 more|ArXiv.org|Mar 23, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 38

一句话总结

本文提出了一种研究带有瞬子的量子场论的新框架，通过取‘无限半径极限’而非传统的自由场或拓扑极限。它表明，非拓扑（非BPS）可观测量——特别是喷流取值可观测量——的相关函数可作为全纯映射有限维模空间上的正则化积分来计算，揭示了哈密顿量中存在若尔当块的对数共形场论结构以及算符的对数混合。

ABSTRACT

The present paper is the second part of our project in which we describe quantum field theories with instantons in a novel way by using the "infinite radius limit" (rather than the limit of free field theory) as the starting point. The theory dramatically simplifies in this limit, because the correlation functions of all, not only topological (or BPS), observables may be computed explicitly in terms of integrals over finite-dimensional moduli spaces of instanton configurations. In Part I (arXiv:hep-th/0610149) we discussed in detail the one-dimensional (that is, quantum mechanical) models of this type. Here we analyze the supersymmetric two-dimensional sigma models and four-dimensional Yang--Mills theory, using the one-dimensional models as a prototype. We go beyond the topological (or BPS) sectors of these models and consider them as full-fledged quantum field theories. We study in detail the space of states and find that the Hamiltonian is not diagonalizable, but has Jordan blocks. This leads to the appearance of logarithms in the correlation functions. We find that our theories are in fact logarithmic conformal field theories (theories of this type are of interest in condensed matter physics). We define jet-evaluation observables and consider in detail their correlation functions. They are given by integrals over the moduli spaces of holomorphic maps, which generalize the Gromov--Witten invariants. These integrals generally diverge and require regularization, leading to an intricate logarithmic mixing of the operators of the sigma model. A similar structure arises in the four-dimensional Yang--Mills theory as well.

研究动机与目标

• 开发一种非拓扑、几何化的瞬子量子场论框架，超越标准的拓扑或自由场近似。
• 理解超对称sigma模型和杨-米尔斯理论的完整量子结构，包括非BPS态和可观测量。
• 识别相关函数和算符混合中对数结构的出现，并将其与对数共形场论（LCFT）联系起来。
• 通过引入依赖于全纯映射导数的喷流取值可观测量，推广格罗莫夫-威滕不变量，其相关函数因边界发散而需正则化。
• 利用ADHM构造和同调积分，将这些结果推广至四维超对称杨-米尔斯理论。

提出的方法

• 以无限半径极限（而非弱耦合或拓扑极限）作为分析带有瞬子的量子场论的出发点。
• 将喷流取值可观测量定义为靶流形喷流空间上的微分形式，将标准取值算符推广至包含导数的形式。
• 通过全纯映射的模空间积分（二维）或反自对偶联络的模空间积分（四维）来计算相关函数，四维情形使用ADHM构造处理瞬子。
• 应用正则化技术处理模空间边界除子引起的发散，导致相关函数中出现对数项。
• 分析哈密顿量结构，表明其不可对角化，存在若尔当块，暗示态和算符的对数混合。
• 使用同调积分和全纯流形算符计算瞬子修正，并重构包含对数项的算符乘积展开（OPEs）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在带有瞬子的量子场论中计算非拓扑可观测量的相关函数？
• RQ2 无限半径极限在简化sigma模型和杨-米尔斯理论动力学方面（超越拓扑 sector）起到什么作用？
• RQ3 为何喷流取值可观测量的相关函数表现出对数项？其物理和数学根源是什么？
• RQ4 该理论的哈密顿量结构如何导致态空间中不可对角化性及若尔当块的出现？
• RQ5 对数共形场论的结构能否在如sigma模型和杨-米尔斯理论等几何量子场论中显式实现？

主要发现

• 无限半径极限导致显著简化，使得所有可观测量——包括拓扑与非拓扑——的相关函数均可作为瞬子模空间上的有限维积分来计算。
• 该理论的哈密顿量不可对角化，包含若尔当块，这直接导致相关函数中出现对数项。
• 该理论被识别为对数共形场论（LCFT），中心电荷 $ c = 0 $，尤其在 $ \mathbb{P}^1 $ 和环面靶空间情况下成立。
• 依赖于全纯映射及其导数的喷流取值可观测量，其相关函数为全纯映射模空间上的正则化积分，推广了格罗莫夫-威滕不变量。
• 这些积分的正则化是非典范的，导致算符的对数混合，类似于第一部分研究的量子力学模型。
• 在四维 $ \mathcal{N}=4 $ 杨-米尔斯理论中，类似对数结构出现在单瞬子扇区，其OPEs表现出的对数项源自ADHM模空间积分。