[论文解读] Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum

Leonhard Euler, Alexander Aycock|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

Historical and Literary Studies被引用 51

一句话总结

欧拉提出一种方法，使用微分/差分演算对级数进行变换与求和，特别是通过诸如 x = y/(1+y) 之类的代换，将和与迭代差分联系起来，从而实现有限级数和无限级数的求和。

ABSTRACT

This is the translation of Euler's Latin textbook Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum (second volume) into English.

研究动机与目标

• 动机并论证在分析与级数理论中使用微分演算的合理性。
• 介绍辅助代数工具与差分算子以变换级数。
• 展示当差分稳定时，代换得到的变换级数的和可用闭式表达。
• 通过变换表示来说明有限与发散级数的处理。

提出的方法

• 定义一个通用幂级数 S = a x + b x^2 + c x^3 + …，并代入 x = y/(1+y) 将其变换为系数涉及序列 a, b, c, …的一阶、二阶等差分的级数。
• 将变换后的和表示为 S = a y/(1−x) + Δa x^2/(1−x)^2 + Δ^2 a x^3/(1−x)^3 + … 其中 Δ 表示向前差分。
• 证明当差分最终变为常数时，变换后的级数终止并给出有限的闭式表达。
• 通过取 x = −t 来讨论符号交替的情况，并展示类似的变换。
• 通过将无穷变换和减去尾部的变换和来将方法应用于有限级数。
• 提供大量明确示例（如等差数列、平方、立方、等比、类似调和的级数）来说明收敛性与求和结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 系数序列的迭代向前差分是否能为变换后的级数得到闭式和？
• RQ2 在何种情况下基于代换的变换能为原本无限或发散的级数产生有限表达？
• RQ3 改变符号模式（交替级数）如何影响变换表示和收敛性？
• RQ4 变换如何使不同级数的和相互关联并为慢收敛或不收敛的情形提供近似？

主要发现

• 一种通用变换将级数映射为与 x/(1−x) 的幂次相乘的若干项之和，并与迭代差分相乘，当差分稳定时即可提取和。
• 对于具有恒定一阶或更高阶差分的级数，使用变换后的系数（例如 Δa、Δ^2a）可以写成有限的闭式和。
• 交替级数可以用 x = 1/(1+x) 进行变换，以获得快速收敛的表示和对发散原始的近似和。
• 该方法通过产生更快收敛的变换级数，对收敛较慢或发散的级数效果良好，并提供通过特定代换推导已知常数与函数的框架。
• 欧拉提供了明确的示例（如 1 − 1 + 1 − 1 …、1 − 2 + 3 − 4 + …、平方、立方及超几何型等级数）以说明该技巧及其局限性。
• 该方法还给出级数及其尾部之间的关系，通过用无穷变换和减去尾部变换和来得到有限和。