[论文解读] Instruction sequences and non-uniform complexity theory

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 37被引用 14

一句话总结

本文基于程序代数中的单遍指令序列，发展了一套非均匀复杂性理论，引入了P/poly与NP/poly的对应概念，并提出了一个非均匀超多项式复杂性假设。研究证明，3SAT的一个变体在该框架下为NP/poly-完全，且在此设定下，复杂性类与经典定义一致，为研究非均匀计算提供了一个直观、基于指令序列的代数框架。

ABSTRACT

We develop theory concerning non-uniform complexity in a setting in which the notion of single-pass instruction sequence considered in program algebra is the central notion. We define counterparts of the complexity classes P/poly and NP/poly and formulate a counterpart of the complexity theoretic conjecture that NP is not included in P/poly. In addition, we define a notion of completeness for the counterpart of NP/poly using a non-uniform reducibility relation and formulate complexity hypotheses which concern restrictions on the instruction sequences used for computation. We think that the theory developed opens up an additional way of investigating issues concerning non-uniform complexity.

研究动机与目标

• 基于程序代数中的基础概念——单遍指令序列，发展一套非均匀复杂性理论。
• 在指令序列框架内，定义经典复杂性类P/poly与NP/poly的对应概念。
• 提出一个非均匀超多项式复杂性假设作为核心猜想，其动机源于其推论而非直接证据。
• 引入一种非均匀约化关系，用于定义NP/poly对应类中的完全性，从而支持对计算难度的分析。

提出的方法

• 使用程序代数中单遍指令序列的概念——即最多执行一次的有限或无限指令序列——作为基本计算模型。
• 定义一种计算模型，其中指令序列通过类线程行为与执行环境交互，使用基本线程代数（BTA）进行建模。
• 基于指令序列变换，引入一种非均匀约化关系，以定义NP/poly对应类中的完全性。
• 提出三个限制指令序列以分析计算极限的超多项式特征消除复杂性假设。
• 证明该框架下P/poly与NP/poly复杂性类与经典定义一致。
• 在BTA中使用显式代入，以消除线程提取中的组合爆炸，实现指令序列的线性大小表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以单遍指令序列作为计算原语，有意义地重新定义P/poly与NP/poly等非均匀复杂性类？
• RQ2 在指令序列模型中，是否存在一种自然的非均匀约化关系，以支持NP/poly的完全性概念？
• RQ3 3SAT的一个变体在指令序列框架中是否仍为NP完全且NP/poly完全？
• RQ4 能否提出并证明非均匀超多项式复杂性假设，使其比其经典对应物蕴含更强的结果？
• RQ5 该模型中的P/poly与NP/poly复杂性类是否与它们的经典定义等价？

主要发现

• 在指令序列框架中定义的NP/poly复杂类与经典NP/poly等价，验证了该模型的表达能力。
• 一个与3SAT密切相关的问题被证明为NP完全，同时也为NP/poly对应类的完全问题，确立了该模型中的典型难解问题。
• 非均匀超多项式复杂性假设被确立为核心假设，其中三个相关假设中的第一个等价于NP/poly ⊈ P/poly。
• 该理论表明，此框架下的P/poly与NP/poly复杂类与经典定义一致，确保与现有复杂性理论的一致性。
• BTA中的显式代入支持从指令序列中线性大小地提取线程，消除了表示中的组合爆炸。