[论文解读] Integer complexity: algorithms and computational results

Harry Altman|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种可计算的算法，用于确定任意自然数 $n$ 的稳定化长度 $K(n)$ 和稳定复杂度 $‘n’_{st}$，解决了整数复杂度理论中的一个关键开放问题。通过利用缺陷函数 $ \delta(n) = \|n\| - 3\log_3 n$ 和低缺陷多项式，该方法能够高效计算 $K(n)$，并验证了当 $k \leq 48$ 时 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$，为一个长期存在的猜想提供了有力证据。

ABSTRACT

Define $\|n\|$ to be the complexity of $n$, the smallest number of ones needed to write $n$ using an arbitrary combination of addition and multiplication. Define $n$ to be stable if for all $k\ge 0$, we have $\|3^k n\|=\|n\|+3k$. In [7], this author and Zelinsky showed that for any $n$, there exists some $K=K(n)$ such that $3^K n$ is stable; however, the proof there provided no upper bound on $K(n)$ or any way of computing it. In this paper, we describe an algorithm for computing $K(n)$, and thereby also show that the set of stable numbers is a computable set. The algorithm is based on considering the defect of a number, defined by $δ(n):=\|n\|-3\log_3 n$, building on the methods presented in [3]. As a side benefit, this algorithm also happens to allow fast evaluation of the complexities of powers of $2$; we use it to verify that $\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$ for $k\le48$ and arbitrary $\ell$ (excluding the case $k=\ell=0$), providing more evidence for the conjecture that $\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$ whenever $k$ and $\ell$ are not both zero. An implementation of these algorithms in Haskell is available.

研究动机与目标

• 解决此前仅知存在但不可计算的 $K(n)$，即 $n$ 的稳定化长度的计算问题。
• 确立稳定复杂度 $\|n\|_{st}$ 和稳定数集合的可计算性，从而实现对整数复杂度的算法化分析。
• 提供一种基于缺陷理论和低缺陷多项式的实用算法，用于计算 $\|n\|$ 和 $\|n\|_{st}$，扩展了先前的方法。
• 验证 $k \leq 48$ 且任意 $\ell$ 时，猜想 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ 成立，为该猜想的有效性提供计算证据。

提出的方法

• 该算法使用缺陷函数 $\delta(n) = \|n\| - 3\log_3 n$ 分析 $n$ 在反复乘以 3 时的复杂度行为。
• 通过低缺陷多项式和低缺陷树表示法，高效搜索具有最小缺陷的 $3^k n$，从而实现 $K(n)$ 的计算。
• 利用 $f(3^{k_1}, \ldots, 3^{k_r})$ 对 $n$ 的 3-表示中指数和 $k_1 + \cdots + k_r$ 的界限，减少搜索空间。
• 采用基于树的数据结构追踪子表达式间的复杂度分布，实现对冗余低缺陷对的高效剪枝。
• 通过检查 $\delta(f, C)(k_1, \ldots, k_r) < i\alpha$ 确保缺陷界限满足，取代了早期的截断启发式方法。
• 在 Haskell 中实现的优化版本使用上述技术，成功计算了 $k \leq 48$ 时的 $\|2^k\|$，并验证了 $2^k 3^\ell$ 猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知 $K(n)$ 仅存在而不可计算的前提下，能否实现其算法化计算？
• RQ2 稳定复杂度 $\|n\|_{st}$ 是否可计算？其是否可用于推断 $n$ 的真实复杂度？
• RQ3 猜想 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ 是否对所有 $k \leq 48$ 和所有 $\ell$ 成立？
• RQ4 缺陷理论和低缺陷多项式能否用于设计一种实用算法，以计算 $\|n\|$ 和 $\|n\|_{st}$？

主要发现

• 函数 $K(n)$，即 $n$ 的稳定化长度，是可计算的，并且本文提供了对任意 $n$ 计算该值的算法。
• 稳定复杂度 $\|n\|_{st}$ 是可计算的，且稳定数集合是一个可计算集合。
• 该算法验证了当 $k \leq 48$ 且 $\ell$ 任意时，$\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ 成立（排除 $k = \ell = 0$ 的情况）。
• 在 Haskell 中的实现成功计算了 $k \leq 48$ 时的 $\|2^k\|$，确认了在此范围内 $\|2^k\| = 2k - 1$。
• 使用有界指数和与缺陷检查显著减少了对 $n$ 的 3-表示的搜索空间。
• 该方法可快速评估形如 $2^k 3^\ell$ 的数的 $\|n\|$，支持了关于其复杂度的更广泛猜想。