[论文解读] Integers expressible as the sum of two rational cubes

Levent Alpöge, Manjul Bhargava+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文证明了存在正密度的整数可表示为两个有理数立方之和，且存在正密度的整数不可表示为这种形式，确立了可表示整数的下密度至少为 2/21，不可表示整数的下密度至少为 1/6。作者通过证明在椭圆曲线的三次扭家族中，2- Selmer 群的平均大小为 3，从而实现该结果，方法包括对二元三次型的广义参数化以及高级解析数论技术，包括圆法和数的几何方法。

ABSTRACT

We prove that a positive proportion of integers are expressible as the sum of two rational cubes, and a positive proportion are not so expressible, thus proving a conjecture of Davenport. More generally, we prove that a positive proportion (in fact, at least one sixth) of elliptic curves in any cubic twist family have rank 0, and a positive proportion (in fact, at least one sixth) of elliptic curves with good reduction at 2 in any cubic twist family have rank 1. Our method involves proving that the average size of the 2-Selmer group of elliptic curves in any cubic twist family, having any given root number, is 3. We accomplish this by generalizing a parametrization, due to the second author and Ho, of elliptic curves with extra structure by pairs of binary cubic forms. We then use a novel combination of geometry-of-numbers methods and the circle method that builds on earlier work of Ruth and the first author. In particular, we make use of a new interpretation of the singular integral and series arising in the circle method in terms of real and $p$-adic Haar measures on the relevant group. We prove a uniformity estimate for integral points on the relevant quadric, which along with a sieve allows us to prove that the average size of the 2-Selmer group over the cubic twist family is 3. By suitably partitioning the subset of curves in the family with given root number, we effect a further sieve to show that the root number is equidistributed and that the same average, now taken over only those curves of given root number, is again 3. Finally, we apply the $p$-parity theorem of Dokchitser-Dokchitser and a $p$-converse theorem of Burungale-Skinner to conclude. We also prove the analogue of the above results for the sequence of square numbers: namely, we prove that a positive proportion of square integers are expressible as the sum of two rational cubes, and a positive proportion are not.

研究动机与目标

• 确定可表示为两个有理数立方之和的整数集合是否具有正自然密度。
• 解决长期悬而未决的开放问题：该密度是否严格介于 0 和 1 之间。
• 建立此类整数及其补集密度的定量下界。
• 分析在 Q 上的椭圆曲线三次扭家族中秩（0 和 1）的分布。
• 证明在这些家族中，2-Selmer 群的平均大小恰好为 3，从而可通过 p-奇偶性定理和 p-逆定理推导出秩的分布结论。

提出的方法

• 通过成对的二元三次型推广具有额外结构的椭圆曲线参数化，扩展了 Bhargava 和 Ho 的工作。
• 在二元三次型对的空间中的一个二次曲面超曲面上，计算满足同余条件且不变量有界的整数轨道数。
• 应用数的几何方法和圆法，估算在 SL₂(Z) × SL₂(Z) 的基本域中此类轨道的数量。
• 将圆法中的奇异积分与奇异级数重新解释为 SL₂ × SL₂ 上关于哈尔测度的实积分与 p-进积分。
• 利用一致估计与筛法，证明在整个三次扭家族上，2-Selmer 群的平均大小为 3。
• 按根数划分家族，并进一步应用筛法，证明根数的等分布性，且在每个根数类中，2-Selmer 群的平均大小仍保持为 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 可表示为两个有理数立方之和的整数的自然密度是多少？
• RQ2 是否存在可表示和不可表示为该和的整数密度的正下界？
• RQ3 在椭圆曲线的三次扭家族中，2-Selmer 群的平均大小是多少？
• RQ4 在在 2 处具有良好减少性的椭圆曲线的三次扭中，秩（0 和 1）如何分布？
• RQ5 能否应用 p-奇偶性定理和 p-逆定理，从 Selmer 群统计推导出秩的分布？

主要发现

• 存在正密度的整数可表示为两个有理数立方之和，其下密度界为 2/21。
• 存在正密度的整数不可表示为两个有理数立方之和，其下密度界为 1/6。
• 在任意椭圆曲线的三次扭家族中，2-Selmer 群的平均大小恰好为 3。
• 在任意三次扭家族中，至少 1/6 的椭圆曲线具有秩 0，且至少 1/6 的在 2 处具有良好减少性的曲线具有秩 1。
• 根数在三次扭家族中等分布，且当限制在固定根数的曲线时，2-Selmer 群的平均大小仍为 3。
• 结果通过将圆法的奇异级数与奇异积分重新解释为 SL₂ × SL₂ 上的哈尔测度，结合 p-奇偶性定理与 p-逆定理而建立。