[论文解读] Integrability and RG flow in 2d sigma models

Nat Levine|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 3

一句话总结

本论文研究了在重整化群（RG）流下，可积2D sigma模型的量子稳定性，提出仅当对目标空间几何施加特定有限量子修正（α′-修正）时，高阶微扰下的可重整化性才能被保持。该研究针对η-和λ-变形模型进行了验证，构建了新的可积G×G/H模型，并将λ-模型在三重G×G×G空间上重新表述，以实现自动可重整化，通过时间依赖耦合将可积性与RG流联系起来，构建了受弦理论启发的模型。

ABSTRACT

Motivated by the search for solvable string theories, we consider the problem of classifying the integrable bosonic 2d sigma-models. We include non-conformal sigma-models, which have historically been a good arena for discovering integrable models that were later generalized to Weyl-invariant ones. General sigma-models feature a quantum RG flow, given by a 'generalized Ricci flow' of the target-space geometry. This thesis is based on the conjecture that integrable sigma-models are renormalizable, or stable under the RG flow. It is widely understood that classically integrable theories are stable at the leading 1-loop order with only a few parameters running. Here we address what happens at higher-loop orders. We find that integrable sigma-models generally remain RG-stable at higher-loops provided they receive a particular choice of finite counterterms, or quantum (alpha') corrections to the target-space geometry. Thought to be preserving integrability at the quantum level, these corrections are analogous to those required for higher-loop conformal invariance of gauged Wess-Zumino-Witten models. We explicitly construct the quantum corrections restoring higher-loop renormalizability for examples of integrable eta- and lambda-deformed sigma-models. We then consider the integrable GxG and GxG/H models and also construct a new class of integrable GxG/H models with abelian H. We also reformulate the lambda-models as sigma-models on a "tripled" GxGxG configuration space, where they become automatically renormalizable due to manifest global symmetries. In the limit when they become non-abelian dual (NAD) models, this suggests that the corresponding 'interpolating models' for NAD are also renormalizable, with 2-loop beta-functions matching the group/symmetric space models. We then present a new and different link between integrability and the RG flow in the context of sigma-models with 'local couplings' depending explicitly on 2d time. Such models are naturally obtained in the light-cone gauge in string theory, pointing to the possibility of a large, new class of solvable string models.

研究动机与目标

• 研究经典可积2D sigma模型在高阶微扰量子修正下是否仍保持可重整化。
• 识别为在高阶微扰下保持可积性所必需的特定有限量子修正（α′-修正）。
• 构建具有阿贝尔子群H的新一类可积G×G/H sigma模型，扩展已知的可积结构。
• 将λ-模型在三重G×G×G配置空间上重新表述，通过场的解耦实现自动可重整化。
• 探索在具有时间依赖（局部）耦合的模型中，可积性与RG流之间的新联系，受弦理论启发。

提出的方法

• 提出一个猜想：仅当在目标空间几何中引入特定有限反项（量子α′-修正）时，可积sigma模型才在RG流下稳定。
• 通过广义里奇流方程，显式计算了η-和λ-变形模型在2-loop下恢复可重整化的量子修正。
• 将λ-模型重新表述为在G×G×G配置空间上的sigma模型，其中某些场的解耦确保了自动可重整化。
• 通过扩展已知可积模型的结构，推导出一类新的具有阿贝尔H的可积G×G/H sigma模型。
• 分析了耦合依赖于2D时间τ的时间依赖sigma模型，表明仅当耦合演化遵循1-loop RG流时，可积性才被保持。
• 使用Lax算符技术与零曲率条件，推导出时间依赖Lax对的一致性条件，并将其与RG流联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1-loop以上阶次，为保持2D sigma模型的可积性与可重整化性，需要哪些量子修正？
• RQ2 λ-模型能否以某种方式重新表述，使得通过几何对称性实现高阶自动可重整化？
• RQ3 sigma模型中时间依赖耦合与RG流之间有何关系？在何种条件下可保持可积性？
• RQ4 能否构建新的具有阿贝尔H的可积G×G/H sigma模型类？它们在RG流下的行为如何？
• RQ5 1-loop RG流与时间依赖sigma模型中Lax算符存在的关系是否具有更深层的数学结构？

主要发现

• 仅当对目标空间几何施加特定有限α′-修正时，可积2D sigma模型才在高阶微扰下保持RG稳定性，这与规范WZW模型中高阶共形不变性所要求的修正类似。
• 对于η-和λ-变形模型，显式构造了恢复2-loop可重整化的量子修正，证实了在这些修正下RG稳定性的猜想。
• 在三重G×G×G空间上重新表述λ-模型，由于某些场的解耦，实现了自动可重整化，且所得插值模型的2-loop β函数与标准群/对称空间sigma模型一致。
• 构建了一类新的具有阿贝尔H的可积G×G/H sigma模型，扩展了已知的可积模型图景。
• 时间依赖sigma模型中，仅当时间依赖耦合遵循RG轨迹时，才存在Lax连接，从而建立了可积性与RG流之间的新联系。
• 在具有时间依赖耦合的Sine-Gordon模型中，当耦合演化与1-loop RG流匹配时，可积性被精确保持，且Lax连接可通过标准Lax连接的共形变换获得。