[论文解读] Integrability conditions between the first and second Cosserat deformation tensor in geometrically nonlinear micropolar models and existence of minimizers

Johannes Lankeit, Patrizio Neff+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文建立了几何非线性微极弹性中一阶和二阶柯塞尔脱变形张量之间的可积性条件，推导出一个新公式，将对称伸长张量 $\bar{U}$ 与类曲率张量 $\frak{K}$ 联系起来。提出了一种新的能量形式，将形变与曲率效应完全解耦，并在弱假设下（包括零柯塞尔偶模量和二次曲率能）证明了在索博列夫空间中极小化元的存在性。

ABSTRACT

In this note we extend integrability conditions for the symmetric stretch tensor $U$ in the polar decomposition of the deformation gradient $ ablaφ=F=R\,U$ to the non-symmetric case. In doing so we recover integrability conditions for the first Cosserat deformation tensor. Let $F=\bar R\,\bar U$ with $\bar R:Ω\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathrm{SO}(3)$ and $\bar U:Ω\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathrm{GL}(3)$. Then $\mathfrak{K}:={\bar R}^T\mathrm{Grad}\,{\bar R}=\mathrm{Anti}\Big( \frac{1}{\mathrm{det} \bar U}\Big[\bar U(\mathrm{Curl} \bar U)^T-\frac{1}{2} \mathrm{tr}(\bar U(\mathrm{Curl} \bar U)^T) 1\!\!1 \Big]\bar U\Big),$ giving a connection between the first Cosserat deformation tensor $\bar U$ and the second Cosserat tensor ${\mathfrak{K}}$. (Here, Anti denotes an isomorphism between $\mathbb{R}^{3 imes 3}$ and $\mathfrak{So}(3):=\{\,\mathfrak{A}\in\mathbb{R}^{3 imes 3 imes 3}\,|\,\mathfrak{A}.u\in\mathfrak{so}(3)\;\forall u\in \mathbb{R}^3\}$.) The formula shows that it is not possible to prescribe $\bar U$ and $\mathfrak{K}$ independent from each other. We also propose a new energy formulation of geometrically nonlinear Cosserat models which completely separate the effects of nonsymmetric straining and curvature. For very weak constitutive assumptions (no direct boundary condition on rotations, zero Cosserat couple modulus, quadratic curvature energy) we show existence of minimizers in Sobolev-spaces.

研究动机与目标

• 推导几何非线性微极模型中一阶柯塞尔变形张量 $\bar{U}$ 与二阶柯塞尔张量 $\frak{K}$ 之间的可积性条件。
• 将瓦尔莱的极分解公式 $F = \bar{R} \bar{U}$ 推广至非对称、非正定的 $\bar{U}$，以实现非对称形变下的相容性条件。
• 提出一种新的能量形式，完全分离微极连续体中非对称形变与曲率的影响。
• 在弱本构假设下（包括零柯塞尔偶模量和二次曲率能）建立几何非线性柯塞尔模型极小化元的存在性。
• 为微极弹性提供严格的数学基础，边界条件和材料响应的假设尽可能少。

提出的方法

• 推导一个新的关联公式：$\frak{K} = \bar{R}^T \text{Grad}\bar{R} = \text{Anti}\bigg( \frac{[\bar{U}(\text{Curl}\bar{U})^T - \frac{1}{2}\text{tr}(\bar{U}(\text{Curl}\bar{U})^T)\boldsymbol{\bbm{1}}]\bar{U}}{\text{det}\bar{U}} \bigg)$，将 $\bar{U}$ 与 $\frak{K}$ 联系起来。
• 使用极分解 $F = \bar{R} \bar{U}$，其中 $\bar{R} \to \text{SO}(3)$ 且 $\bar{U} \to \text{GL}(3)$，将经典结果推广至非对称 $\bar{U}$。
• 应用基于体积的恒等式与向量微积分工具，包括 $\text{vol}(u,v,w)$ 函数与伴随矩阵的性质，推导相容性条件。
• 提出一种新的能量泛函，将应变能与曲率能完全解耦，从而可独立建模非对称形变与旋转梯度。
• 在索博列夫空间中运用凸性与弱下半连续性论证，证明在最小假设下的极小化元存在性。
• 依赖索博列夫空间理论与紧致性方法，确保能量泛函在弱收敛意义下的下半连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几何非线性微极模型中，一阶柯塞尔变形张量 $\bar{U}$ 与二阶柯塞尔张量 $\frak{K}$ 之间必须满足哪些可积性条件？
• RQ2 如何将经典极分解公式推广至非对称、非正定的 $\bar{U}$，以恢复相容性条件？
• RQ3 能否构造一种新的能量形式，完全分离微极弹性中非对称形变与曲率的贡献？
• RQ4 在何种最小假设下，能量泛函在索博列夫空间中存在极小化元？
• RQ5 柯塞尔偶模量在存在性理论中起什么作用？当其为零时，是否仍可建立存在性？

主要发现

• 推导出一个新公式，明确将曲率张量 $\frak{K}$ 与伸长张量 $\bar{U}$ 及其旋度联系起来，表明 $\bar{U}$ 与 $\frak{K}$ 不能独立指定。
• 相容性条件被推广至非对称 $\bar{U}$ 的情形，将瓦尔莱公式推广至完整的非对称情况，这对建模具有非对称形变的微极材料至关重要。
• 本文构造了一种新的能量泛函，完全解耦了应变与曲率的贡献，从而可独立建模非对称形变与旋转梯度。
• 在非常弱的假设下证明了极小化元在索博列夫空间中的存在性：无需对旋转施加直接边界条件，柯塞尔偶模量为零，且曲率能为二次型。
• 存在性结果依赖于弱下半连续性与索博列夫空间中的紧致性，能量泛函在相关变量上是凸的。
• 数学框架为几何非线性微极弹性提供了严格的理论基础，本构假设最少，可应用于复杂微结构材料。