[论文解读] Integrability Conditions for SDEs and Semi-Linear SPDEs

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文建立了随机微分方程（SDE）和具有局部无界系数的半线性随机偏微分方程（SPDE）中解不爆炸、不变概率测度存在性、唯一性及正则性的可积性条件。通过利用不完备黎曼流形上的局部无维数Harnack不等式以及参考半群的超收缩性，推导出的条件超越了经典Lyapunov准则，尤其适用于在紧集上无界的漂移项。

ABSTRACT

By using the local dimension-free Harnack inequality established on incomplete Riemannian manifolds, integrability conditions on the coefficients are presented for SDEs to imply the non-explosion of solutions as well as the existence, uniqueness and regularity estimates of invariant probability measures. These conditions include a class of drifts unbounded on compact domains such that the usual Lyapunov conditions can not be verified. The main results are extended to second order differential operators on Hilbert spaces and semi-linear SPDEs.

研究动机与目标

• 推导出保证具有局部无界漂移的SDE解不爆炸的系数可积性条件。
• 在标准Lyapunov条件因漂移无界而失效时，建立不变概率测度的存在性、唯一性及正则性估计。
• 将SDE结果推广至希尔伯特空间上的二阶微分算子及半线性SPDE。
• 通过以概率测度为参照的条件替代全局可积性假设，克服其局限性。
• 为不变测度未知的SDE提供一个适用框架，使其可通过新准则实现表征。

提出的方法

• 利用不完备黎曼流形上的局部无维数Harnack不等式，控制转移密度的行为。
• 应用Girsanov变换构造弱解，并利用Harnack不等式证明解不爆炸。
• 利用参考马尔可夫半群的超收缩性，控制由奇异SDE诱导的Feynman-Kac半群。
• 通过Harnack不等式与半群估计，推导出不变测度密度的导数公式。
• 建立如下形式的局部Harnack不等式：$ (P_t f(x))^p \leq P_t f^p(y) \exp\left[ \frac{F(x)\rho(x,y)^2}{t \land 1} + F(x) \right] $，其中 $ \rho(x,y) \leq \frac{1}{F(x)} $，该不等式可实现正则性估计。
• 通过半径为 $ R(x) $ 的测地球上的紧致性与曲率界，控制梯度估计中误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有局部无界漂移的SDE建立可积性条件，以确保即使Lyapunov条件失效时解也不爆炸？
• RQ2 当漂移在紧集上无界时，如何保证SDE的不变概率测度的存在性与正则性？
• RQ3 不完备流形上的局部Harnack不等式在推导梯度估计与不爆炸结果方面可发挥多大作用？
• RQ4 该框架能否推广至希尔伯特空间上的二阶算子与半线性SPDE？
• RQ5 在漂移非全局有界时，何种系数条件可确保不变测度存在且正则？

主要发现

• 本文建立了如下形式的局部Harnack不等式：$ (P_t f(x))^p \leq P_t f^p(y) \exp\left[ \frac{F(x)\rho(x,y)^2}{t \land 1} + F(x) \right] $，其中 $ \rho(x,y) \leq \frac{1}{F(x)} $，该不等式对正则性估计至关重要。
• 证明了若 $ \delta \geq \frac{160}{R(x)} $，则有 $ |\nabla P_t f(x)| \leq \delta E_{P_t}(f)(x) + H(x)\left( \delta + \frac{1}{\delta(t \land 1)} \right) $，该结果在不完备流形上提供了梯度估计。
• 通过Girsanov变换与局部Harnack不等式，即使漂移在紧集上无界，也证明了弱解的不爆炸性。
• 通过Feynman-Kac半群的超收缩性，证明了不变概率测度的存在性，该性质在漂移相对于参考测度满足可积性条件时成立。
• 推导出不变测度密度的导数公式，使得在缺乏全局Lyapunov条件时仍可实现正则性估计。
• 结果被推广至半线性SPDE与希尔伯特空间上的二阶算子，表明该框架在有限维SDE之外也具有鲁棒性。