[论文解读] Integrability of C_2-cofinite vertex operator algebras

Chongying Dong, Geoffrey Mason|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文证明，一个满足强CFT型且$C_2$-余有限的简单顶点算子代数，其仿射李代数作用是可积的：其权一空间中的任意单李代数子代数生成的最高权模同构于$L(k,0)$，其中$k$为正整数，且整个代数作为相应仿射Kac-Moody代数的模是可积的。这种可积性对顶点算子代数施加了强烈的算术与结构约束，将仿射构造中的有理性和$C_2$-余有限性联系起来。

ABSTRACT

The following integrability theorem for vertex operator algebras V satisfying some finiteness conditions(C_2-cofinite and CFT-type) is proved: the vertex operator subalgebra generated by a simple Lie subalgebra {\frak g} of the weight one subspace V_1 is isomorphic to the irreducible highest weight \hat{\frak g}-module L(k, 0) for a positive integer k, and V is an integrable \hat{\frak g}-module. The case in which {\frak g} is replaced by an abelian Lie subalgebra is also considered, and several consequences of integrability are discussed.

研究动机与目标

• 建立在$C_2$-余有限性和强CFT型条件下顶点算子代数的可积性。
• 阐明由$V_1$中李子代数生成的顶点算子代数的结构，特别是其与$L(k,0)$模的同构性。
• 探讨仿射VOA中，有理性和$C_2$-余有限性的等价性。
• 研究阿贝尔李子代数的作用及其与格点VOA的联系。
• 证明对于仿射Kac-Moody代数的最高权模所关联的顶点算子代数，$C_2$-余有限性与有理性是等价的。

提出的方法

• 利用Zhu的$C_2$-余有限性条件，为$V$构造一个无重复模式的PBW型生成集。
• 通过括号$[u,v] = u_0 v$和不变双线性形式$\langle u,v\rangle = u_1 v$在$V_1$上定义李代数结构。
• 利用仿射Kac-Moody代数的表示理论，证明由$V_1$中的单李子代数$\mathfrak{g}$生成的顶点算子子代数同构于$L(k,0)$，其中$k$为某正整数。
• 利用海森堡代数和格点VOA的作用，将$V$分解为$M(1) \otimes \Omega_V(0)$-模，从而构造出一个正定偶格$L$。
• 应用融合规则和模同构，证明对所有$\alpha \in L$有$\Omega_V(\alpha) \cong \Omega_V(0)$，从而推出$L \subseteq P$且$L$为正定偶格。
• 利用权格$P$的秩条件，证明$\oplus_{\alpha \in L} M(1,\alpha)$同构于格点顶点算子代数$V_L$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由$V_1$中的单李子代数$\mathfrak{g}$生成的顶点算子子代数同构于$L(k,0)$（$k$为正整数）？
• RQ2 $C_2$-余有限性是否足以保证仿射Kac-Moody代数$\hat{\mathfrak{g}}$在$V$上的作用是可积的？
• RQ3 对于与仿射Kac-Moody代数的最高权模相关的顶点算子代数，有理性和$C_2$-余有限性是否等价？
• RQ4 由$V_1$中阿贝尔李子代数生成的顶点算子代数能否实现为格点顶点算子代数？
• RQ5 在何种条件下，$\hat{\mathfrak{g}}$-模的权格$P$是有理的，且$V$包含一个格子子代数$V_L$？

主要发现

• 由$V_1$中的单李子代数$\mathfrak{g}$生成的顶点算子子代数同构于$L(k,0)$（$k$为某正整数），且$V$是$\hat{\mathfrak{g}}$-模的可积模。
• 在$C_2$-余有限性和强CFT型假设下，双线性形式$\langle \cdot, \cdot \rangle$在$\mathfrak{g}$上的限制是非退化的。
• 对于与仿射Kac-Moody代数的最高权模相关的顶点算子代数，有理性和$C_2$-余有限性是等价的。
• 当$P$的权格构造出一个正定偶格$L$时，格点顶点算子代数$V_L$可作为$V$的子代数实现。
• 顶点算子代数$V$可分解为$M(1) \otimes \Omega_V(0)$-模的直和，其分量同构于$M(1,\alpha + \mu_i) \otimes \Omega_V(\mu_i)$，其中$\mu_i$是$P$中$L$的陪集代表元，从而确认了格点结构。
• 阿贝尔李子代数生成格VOA的猜想被证明等价于权格$P$的有理性，且当$P$的秩等于$\mathfrak{g}$的秩时成立。