[论文解读] Integrability of weak distributions on Banach manifolds

Fernand Pelletier|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了在巴拿赫流形上对弱分布——即非闭的、具有巴拿赫结构的切丛子空间——可积性的条件，将弗罗贝尼乌斯型定理推广至非补全、奇异的分布情形。证明了在局部平凡性或李不变性条件下，此类分布存在弱积分子流形，并将其应用于巴拿赫李代数丛与泊松流形。

ABSTRACT

This paper concerns the problem of integrability of non closed distributions on Banach manifolds. We introduce the notion of weak distribution and we look for conditions under which these distributions admit weak integral submanifolds. We give some applications to Banach Lie algebroid and Banach Lie-Poisson manifold. The main results of this paper generalize the works presented in [ChSt], [Nu] and [Gl].

研究动机与目标

• 解决巴拿赫流形上非闭、弱结构分布的可积性问题，其中分布纤维为巴拿赫子空间，但未必在切空间中闭合。
• 将经典的弗罗贝尼乌斯定理与李不变性定理推广至弱分布情形，后者不要求补全或闭合。
• 建立弱分布存在弱积分子流形的条件，将 [ChSt]、[Nu] 与 [Gl] 的结果扩展至更广泛的奇异分布类。
• 将结果应用于巴拿赫李代数丛与巴拿赫泊松流形，证明在核补全条件下特征分布的可积性。
• 通过引入局部平凡性与李不变性作为关键结构假设，统一并拓展无限维几何中可积性研究的既有工作。

提出的方法

• 引入弱分布的概念：一族巴拿赫子空间 $\mathcal{D}_x \subset T_xM$，配备巴拿赫范数，使得包含映射 $\tilde{\mathcal{D}}_x \to T_xM$ 连续。
• 将弱子流形定义为光滑嵌入 $f: N \to M$，其中 $T_xf: T_xN \to T_{f(x)}M$ 为单射且连续，容许像结构非闭。
• 建立可积性与局部下平凡性下不变性之间的等价关系（定理 1），将弗罗贝尼乌斯定理推广至弱分布。
• 应用李不变性条件（定理 2），将 [ChSt] 的结果扩展至弱分布，通过流不变性确保可积性。
• 引入上平凡性与局部对易性（定理 4），证明当生成集满足李括号条件（LB）时，可积性成立。
• 利用泊松锚映射 $\Psi: T^*M \to TM$ 定义特征分布，并证明当 $\ker \Psi$ 在每根纤维中可补时，其可积（定理 6），从而得到弱辛叶。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，巴拿赫流形上的弱分布是可积的，即局部被与分布相切的弱子流形分层？
• RQ2 经典弗罗贝尼乌斯定理如何推广至无限维情形中非闭、非补全的分布？
• RQ3 李不变性或局部对易性在确保弱分布可积性中起何作用？
• RQ4 是否可在不假设核补全的条件下，建立巴拿赫泊松流形中特征分布的可积性？
• RQ5 弱子流形与弱辛结构如何自然地出现在巴拿赫李代数丛与泊松结构的背景下？

主要发现

• 定理 1 建立了：若弱分布具有局部下平凡性，则其可积当且仅当其在任意切于自身的局部向量场的流下不变。
• 定理 2 通过证明李不变性蕴含弱分布的可积性，将 [ChSt] 的结果推广至弱分布，即使纤维不可补亦成立。
• 定理 4 证明了在上生成集具有局部对易性且满足李括号条件（LB）时，可积性成立，将 [Gl] 的结果推广至弱分布。
• 定理 6 表明：若泊松锚映射 $\Psi: T^*M \to TM$ 的核在每根纤维中可补，则其对应的特征分布可积，且每个极大叶上自然赋予弱辛形式。
• 巴拿赫泊松流形上的特征分布可积当且仅当泊松锚映射的核可补，推广了有限维泊松可积性结果。
• 巴拿赫泊松流形中特征分布的每个极大积分流形均继承一个弱辛结构 $\omega_{\mathcal{L}}$，使得 $(\omega_{\mathcal{L}})_x = \tilde{\omega}_x$ 在 $T_x\mathcal{L}$ 上成立。