[论文解读] Integrable and superintegrable systems of cylindrical type in magnetic fields

Ondřej Kubů|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 4

一句话总结

本硕士论文通过推导并求解柱坐标系下二阶运动积分的量子力学判定方程，对磁场中的可积与超可积柱对称系统进行了分类。该研究识别出所有已知的一阶超可积系统，并发现了大量新的经典系统，其额外积分形式为 $L^2 + \ldots$ 或 $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$，所有这些系统均以 $L_z$ 为一阶积分，且在柱坐标系下可分离变量；当解析解不可得时，通过数值方法分析了其轨迹。

ABSTRACT

The goal of this thesis is the search for integrable and superintegrable systems with magnetic field. We formulate the quantum mechanical determining equations for second order integrals of motion in the cylindrical coordinates and we find all quadratically integrable systems of the cylindrical type. Among them we search for systems admitting additional integrals of motion. We find all systems with an additional first order integral both in classical and quantum mechanics. It turns out that all these systems have already been known and no other exist. We also find all systems with an additional integral of type $L^2+\ldots$, respectively $L_y p_y-L_x p_y+\ldots$, of which the majority is new to the literature. All found superintegrable systems admit the first order integral $L_z$ and we solve their Hamilton-Jacobi and Schrödinger equations by separation of variables in the cylindrical coordinates, for the first order systems in the Cartesian coordinates as well.

研究动机与目标

• 系统地分类磁场中柱对称类型的可积与超可积系统。
• 推导并求解柱坐标系下二阶运动积分的量子力学判定方程。
• 识别所有在标准二次可积性之外还具有额外一阶与二阶积分的系统。
• 分析柱坐标系与直角坐标系下哈密顿-雅可比方程与薛定谔方程的可分离性。
• 探讨经典-量子对应关系，并识别具有有界闭合轨迹系统中更高阶积分的候选者。

提出的方法

• 推导柱坐标系下二阶运动积分的量子力学判定方程。
• 在磁场与标量势的约束条件下求解判定方程，包括 $\psi(\phi)$-依赖项与 $\hbar^2$-修正项。
• 采用规范不变形式以简化分析，特别是通过在合适规范下设 $X_2 = p_z$ 与 $\tilde{X}_1 = p_\phi$。
• 应用物理上合理的假设形式来构造二阶积分：$L^2 + \ldots$ 与 $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$，从而导出 $\beta(\phi)$ 的非线性常微分方程。
• 对所有发现的系统在哈密顿-雅可比方程与薛定谔方程中实现变量分离，必要时用特殊函数表示解。
• 对解析积分失败的系统进行轨迹数值分析，重点关注有界性与闭合性，以识别更高阶积分的候选者。

实验结果

研究问题

• RQ1 在磁场存在下，哪些柱对称类型的可积系统具有额外的一阶积分，且这些系统是否已在文献中全部被识别？
• RQ2 在磁场作用下，柱坐标系中具有 $L^2 + \ldots$ 或 $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$ 形式二阶积分的完整经典系统集合是什么？
• RQ3 所有发现的超可积系统是否均能在柱坐标系下实现变量分离？当适用时，它们是否也可在直角坐标系下实现分离？
• RQ4 哪些系统表现出有界闭合轨迹，且是否为超越二次积分的更高阶积分的有希望候选者？
• RQ5 量子修正如何影响标量势与积分？这些系统中经典-量子对应关系的本质是什么？

主要发现

• 在经典与量子力学中均具有额外一阶积分的所有系统在文献中均已知，未发现新的此类系统。
• 发现了大量新的具有 $L^2 + \ldots$ 或 $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$ 形式二阶积分的经典系统，其中大多数此前未被发表。
• 所有发现的超可积系统均以一阶积分 $L_z$ 为特征，这使得其在柱坐标系下可实现变量分离。
• 所有系统的哈密顿-雅可比方程与薛定谔方程均通过柱坐标系下的变量分离得以求解，部分系统在直角坐标系下也可实现分离。
• 数值分析表明，仅有一个系统（第 2.2.2 小节中的系统 II）表现出有界闭合轨迹，因此是更高阶积分的首要候选者。
• 发现二阶积分的标量势存在非平凡的量子修正，其完整量子分析将留待未来工作。