[论文解读] Integrable Discrete Nonautonomous Quad-equations as Bäcklund Auto-transformations for Known Volterra and Toda Type Semidiscrete Equations

R. N. Garifullin, R. I. Yamilov|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文将可积的非自治离散四边形方程构造为已知的伏尔泰拉型和托达型半离散方程的巴克伦德自变换。通过从广义对称性推导并应用可逆的保解变换，作者识别出新的可积的正弦-戈登型、李乌维尔型和布丁链型方程，包括一个非多项式型的托达相关方程，并为关键情形提供了通解、守恒律和L-A对。

ABSTRACT

We construct integrable discrete nonautonomous quad-equations as Bäcklund auto-transformations for known Volterra and Toda type semidiscrete equations, some of which are also nonautonomous. Additional examples of this kind are found by using transformations of discrete equations which are invertible on their solutions. In this way we obtain integrable examples of different types: discrete analogs of the sine-Gordon equation, the Liouville equation and the dressing chain of Shabat. For Liouville type equations we construct general solutions, using a specific linearization. For sine-Gordon type equations we find generalized symmetries, conservation laws and $L-A$ pairs.

研究动机与目标

• 为已知的可积半离散伏尔泰拉型和托达型方程构造可积的非自治离散四边形方程作为巴克伦德自变换。
• 识别出此类离散方程在存在第二个广义对称性时的情形，以确保可积性。
• 通过应用保持解的可逆变换，扩展已知的可积系统。
• 通过线性化方法为达布克斯可积的李乌维尔型方程构造通解。
• 为新发现的可积例子（特别是正弦-戈登型和布丁链型）推导守恒律、广义对称性和L-A对。

提出的方法

• 从形式为 $ \frac{du_n}{dt} = P_n(u_n)(u_{n+1} - u_{n-1}) $ 的已知可积半离散方程出发，其中 $ P_n $ 满足周期性和多项式条件。
• 推导出作为这些系统巴克伦德变换的多项式离散四边形方程 $ F_{n,m}(u_{n+1,m}, u_{n,m}, u_{n,m+1}, u_{n+1,m+1}) = 0 $。
• 对解应用可逆变换以生成新的可积离散方程，包括非多项式情形。
• 以在 $ m $-方向存在第二个广义对称性作为选择可积情形的标准。
• 对李乌维尔型方程使用线性化技术以构造通解。
• 利用对称性和变换方法，为正弦-戈登型和布丁链型方程推导 $ L-A $ 对和守恒律。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些非自治离散四边形方程作为已知可积伏尔泰拉型和托达型半离散方程的巴克伦德自变换出现？
• RQ2 如何通过可逆的保解变换从已知方程生成新的可积离散方程？
• RQ3 何种条件可确保第二个广义对称性的存在，从而确认可积性？
• RQ4 能否为达布克斯可积的李乌维尔型离散方程构造通解？
• RQ5 新可积例子（如正弦-戈登型和布丁链型）的守恒律、广义对称性和 $ L-A $ 对是什么？

主要发现

• 作者为伏尔泰拉型和托达型半离散方程构造了五类多项式非自治离散四边形方程作为巴克伦德自变换。
• 对于李乌维尔型方程（如式53、73、76），通过特定的线性化程序推导出通解，其中式(76)表现出更复杂的首次积分。
• 发现了一个新的非多项式离散方程（式93），其可作为托达格栅的巴克伦德变换，第二个对称性提供了对可积格栅方程的新非自治推广。
• 对于正弦-戈登型方程（86），构造了 $ L-A $ 对，并推导出两组守恒律和广义对称性族。
• 构建了布丁链的离散类比，包含 $ L-A $ 对以及一组广义对称性和守恒律，其中方程(86)作为特例包含在内。
• 识别出退化情形，其中在某些点处一个对称性消失，提示在可积系统中存在进一步研究的潜力。