[论文解读] Integrable geodesic flows on 2-torus: formal solutions and variational principle

Michael Michael, Bialy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过分析三次和四次多项式首次积分所满足的拟线性偏微分方程组，研究了2-环面上的可积测地流。证明了在四次情形下，该系统可约化为一个具有变分意义的单个三阶方程，并构造了以小参数为形式幂级数的正式双周期解，从而为高次首次积分建立了变分与可积结构。

ABSTRACT

In this paper we study quasi-linear system of partial differential equations which describes the existence of the polynomial in momenta first integral of the integrable geodesic flow on 2-torus. We proved in [3] that this is a semi-Hamiltonian system and we show here that the metric associated with the system is a metric of Egorov type. We use this fact in order to prove that in the case of integrals of degree three and four the system is in fact equivalent to a single remarkable equation of order 3 and 4 respectively. Remarkably the equation for the case of degree four has variational meaning: it is Euler-Lagrange equation of a variational principle. Next we prove that this equation for $n=4$ has formal double periodic solutions as a series in a small parameter.

研究动机与目标

• 表征2-环面上测地流存在非平凡高次多项式首次积分（次数高于二）的条件。
• 分析由哈密顿量与首次积分泊松对易条件导出的拟线性偏微分方程组。
• 证明在四次首次积分情形下，该系统可约化为一个具有显著几何与变分意义的单一方程。
• 证明在四次情形下，存在以小参数为形式幂级数的正式双周期解。

提出的方法

• 从测地流的哈密顿量与关于动量的多项式首次积分泊松对易条件出发，导出拟线性偏微分方程组(1)。
• 证明该系统在双曲区域具有半哈密顿结构，并存在黎曼不变量，从而可应用广义特征线法。
• 证明与该系统相关的度量为Egorov型，从而简化系统的几何结构。
• 通过利用Egorov度量结构，将三次与四次情形的系统分别约化为三阶与四阶单一方程。
• 证明四次方程是某个变分原理的欧拉-拉格朗日方程，从而为其提供变分基础。
• 通过递推傅里叶系数分析与对称性约束，构造以小参数为形式幂级数的正式双周期解。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-环面上四次多项式首次积分的偏微分方程组能否约化为单个更易处理的方程？
• RQ2 四次方程组是否具有变分形式？若是，其对应的拉格朗日量是什么？
• RQ3 四次方程的形式解具有何种结构？它们是否表现出双周期性？
• RQ4 系统的对称性如何约束解分量的傅里叶模？
• RQ5 Egorov度量结构在简化可积系统分析中起到何种作用？

主要发现

• 四次首次积分的偏微分方程组在三次情形下等价于单个三阶方程，在四次情形下等价于单个四阶方程。
• 四次方程是某个变分原理的欧拉-拉格朗日方程，为系统提供了变分基础。
• 形式双周期解以小参数为形式幂级数存在，通过傅里叶系数递推分析构造而成。
• 所有解分量关于坐标轴与对角线对称，且不包含形如 $e^{inx}, e^{iny}, e^{in(xackpm y)}$ 的傅里叶单项式。
• 与半哈密顿系统相关的度量为Egorov型，该性质使得系统可约化为单一方程并简化了几何结构。
• 通过归纳法证明了解中缺失特定傅里叶模，其依据为递推系统中非线性项的奇偶对称性。