[论文解读] Integrable $\hat{\mathfrak{sl}_2}$-modules as infinite tensor products

Boris Feigin, Evgeny Feigin|ArXiv.org|May 27, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文将仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ 的可积最高权模构造为 $\mathfrak{sl}_2$-模的有限维融合积的无限张量积（无限极限）。通过融合积中的递归单射与商结构，作者推导出这些模的特征标公式，并建立一个组合递推关系，表明某些 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模可通过量子维数的平移作为其他模的直和出现。

ABSTRACT

Using the fusion product of the representations of the Lie algebra $\mathfrak{sl}_2$ we construct a set of the integrable highest weight $\hat{\mathfrak{sl}_2}$-modules $L^D$, depending on the vector $D\in\mathbb{N}^{k+1}$. In a special cases of $D$ our modules are isomorphic to the irreducible $\hat{\mathfrak{sl}_2}$-modules $L_{i,k}$. We construct a basis of the $L^D$ and study the decomposition of $L^D$ on the irreducible components. We also write a formulas for the characters of $L^D$.

研究动机与目标

• 通过 $\mathfrak{sl}_2$-模的有限维融合积的无限极限，构造可积最高权 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模。
• 提供基并研究这些模分解为不可约分量的结构。
• 推导构造出的模 $L^D$ 的显式特征标公式，以 $q$-级数和组合和的形式表示。
• 基于融合数据中的参数平移，建立 $L^D$ 特征标的递推关系。

提出的方法

• 将有限维 $\mathfrak{sl}_2$-模的融合积定义为 $\mathfrak{sl}_2 \otimes \mathbb{C}[t]$ 的泛包络代数上 $t$-滤子的伴随分次模。
• 当维数相等或满足 $a < b$ 时，构造融合积之间的单同态，并给出显式的商同构。
• 引入归纳极限构造：$L^D = \varinjlim \mathbb{C}^{a_1} * \cdots * \mathbb{C}^{a_n} * (\mathbb{C}^{a_n})^{*2s}$ 当 $s \to \infty$，得到一个 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模。
• 证明归纳极限 $L^D$ 携带定义良好的 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模结构，中心荷为 $c = a_n - 1$。
• 利用 $q$-阶乘和满足特定不等式的整数序列 $i_l$ 的求和，推导 $L^D$ 的特征标公式。
• 建立递推关系：$\mathop{\rm ch} L^D = \mathop{\rm ch} L^{D'} + q^{\frac{p(D'') - p(D)}{4} + \frac{d_s + 1}{2}} \mathop{\rm ch} L^{D''}$，其中 $D'$ 和 $D''$ 是维度向量经 $d_s$ 增加或减少 2 后的变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地通过融合积从有限维 $\mathfrak{sl}_2$-模构造可积 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模？
• RQ2 重复融合积的无限极限的结构是什么？它是否自然地携带 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-作用？
• RQ3 此类极限模的特征标能否用 $q$-级数和整数序列上的组合和来表示？
• RQ4 是否存在 $L^D$ 特征标的递归分解，以其他 $L^{D'}$ 和 $L^{D''}$ 模的特征标表示，其中维度向量经修改？

主要发现

• 归纳极限 $L^D = \mathbb{C}^{a_1} * \cdots * \mathbb{C}^{a_n} * (\mathbb{C}^{a_n})^{*2\infty}$ 携带定义良好的 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模结构，中心荷为 $c = a_n - 1$。
• 模 $L^D$ 的特征标由公式 $\mathop{\rm ch} L^D = \frac{q^{-p(D)/4}}{(\infty)_q} \sum \frac{z^{\sum i_l} q^{\sum i_l^2}}{\prod_{l=1}^{k-1} (i_{l+1} - i_l + \frac{d_{l+1}}{2})_q!}$ 给出，求和范围为满足 $i_l + \alpha_l \in \mathbb{Z}$ 且 $i_l \geq i_{l-1} - \frac{d_l}{2}$ 的整数序列。
• 特征标满足递推关系：$\mathop{\rm ch} L^D = \mathop{\rm ch} L^{D'} + q^{\frac{p(D'') - p(D)}{4} + \frac{d_s + 1}{2}} \mathop{\rm ch} L^{D''}$，其中 $D'$ 和 $D''$ 是维度向量，$d_s$ 分别增加或减少 2。
• 该递推关系表明 $L^D \cong L^{D'} \oplus L^{D''}$ 作为 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-模，从而确立了直和分解。
• 当 $d_{k+1} \leq 1$ 时，$L^D$ 的特征标公式退化为已知的 $L_{j,k}$ 公式，与文献 [6] 的结果一致。
• 当 $d_{k+1} \to \infty$ 时，$q$-阶乘比 $\frac{(d_{k+1})_q!}{(\frac{d_{k+1}}{2} + i_k)_q!} \to 1$，这为无限极限下特征标公式的收敛性提供了依据。