[论文解读] Integrable peakon equations with cubic nonlinearity

Andrew N. W. Hone, Jing Ping Wang|ArXiv.org|May 28, 2008

Nonlinear Waves and Solitons被引用 6

一句话总结

本文提出了一种由 Vladimir Novikov 发现的新可积峰状孤立波方程（peakon equation），具有三次非线性，支持峰状孤立波（peakon）解，具备矩阵 Lax 对、双哈密顿结构，并与 Sawada-Kotera 层次存在反演关系。主要贡献在于显式求解了两峰子动力学，并与 Zhijun Qiao 的相关三次峰状孤立波方程进行了比较分析。

ABSTRACT

We present a new integrable partial differential equation found by Vladimir Novikov. Like the Camassa-Holm and Degasperis-Procesi equations, this new equation admits peaked soliton (peakon) solutions, but it has nonlinear terms that are cubic, rather than quadratic. We give a matrix Lax pair for V. Novikov's equation, and show how it is related by a reciprocal transformation to a negative flow in the Sawada-Kotera hierarchy. Infinitely many conserved quantities are found, as well as a bi-Hamiltonian structure. The latter is used to obtain the Hamiltonian form of the finite-dimensional system for the interaction of $N$ peakons, and the two-body dynamics (N=2) is explicitly integrated. Finally, all of this is compared with some analogous results for another cubic peakon equation derived by Zhijun Qiao.

研究动机与目标

• 研究一种支持峰状孤立波解的新偏微分方程的可积性与结构性质，该方程具有三次非线性。
• 建立矩阵 Lax 对，并通过零曲率表示法证明其可积性。
• 通过反演变换探讨该方程与 Sawada-Kotera 层次之间的关系。
• 推导双哈密顿结构，并利用其获得有限维峰状孤立波动力学的哈密顿形式。
• 从 Lax 对、守恒量和峰状孤立波行为等方面，将新方程与 Qiao 的三次峰状孤立波方程进行比较。

提出的方法

• 利用零曲率表示法，为 Novikov 方程推导出矩阵 Lax 对，从而确认其可积性。
• 应用反演变换，将该方程与 Sawada-Kotera 层次中的负流联系起来。
• 通过两个相容的哈密顿算子构造双哈密顿结构，以描述该方程的可积结构。
• 利用双哈密顿框架，推导出 N 个峰子的哈密顿系统，其位置与振幅通过常微分方程演化。
• 通过求解所得的有限维哈密顿系统，显式积分两峰子动力学。
• 通过分析其 Lax 对、双哈密顿结构及使用分布方法的峰状孤立波解，将结果与 Qiao 方程进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 新三次峰状孤立波方程是否具有 Lax 对与双哈密顿结构，从而确认其可积性？
• RQ2 该新方程与已知可积层次（如 Sawada-Kotera 层次）之间有何关系？
• RQ3 能否利用所推导的哈密顿形式显式求解 N=2 时的有限维峰状孤立波动力学？
• RQ4 Novikov 方程的峰状孤立波解与 Qiao 方程的峰状孤立波解在结构与守恒律方面有何异同？
• RQ5 分布解在验证具有三次非线性的方程的峰状孤立波解中起何作用？

主要发现

• 方程 $ m_t + u^2 m_x + 3u_x m = 0 $，其中 $ m = u - u_{xx} $，通过矩阵 Lax 对与零曲率条件被证明是可积的。
• 通过反演变换，该方程被映射为 Sawada-Kotera 层次中的负流，从而将其与已知可积系统联系起来。
• 推导出无穷多守恒量，并利用算子 $ \tilde{\mathcal{B}}_1 = -4D_x m D_x^{-1} m D_x $ 与 $ \tilde{\mathcal{B}}_2 = -2(D_x - D_x^3) $ 构造了双哈密顿结构。
• 两峰子动力学被显式积分，得到了位置与振幅的闭式解。
• 形式为 $ u = p e^{-|x - q|} $ 的峰状孤立波解，通过分部积分与分布方法得到形式上的验证，即使 $ m^2 $ 项存在奇异性。
• 与 Qiao 方程的比较表明：尽管其缺乏标准峰状孤立波，但形式峰状孤立波 $ u = \pm \sqrt{c} e^{-|x - ct|} $ 在弱意义下满足方程，且其动力学退化，振幅保持恒定。