[论文解读] Integrable viscous conservation laws

Alessandro Arsie, Paolo Lorenzoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文通过引入一个黏性中心不变量来扩展Dubrovin的微扰方法，将其推广至非哈密顿、黏性标量守恒律。该黏性中心不变量参数化了可积变形。论文通过Miura变换将这些方程映射到热方程和Klein-Gordon层级，证明了其可积性，并推导出描述临界点处梯度爆破解的黏性Painlevé I2方程。

ABSTRACT

We propose an extension of the Dubrovin-Zhang perturbative approach to the study of normal forms for non-Hamiltonian integrable scalar conservation laws. The explicit computation of the first few corrections leads to the conjecture that such normal forms are parameterized by one single functional parameter, named viscous central invariant. A constant valued viscous central invariant corresponds to the well-known Burgers hierarchy. The case of a linear viscous central invariant provides a viscous analog of the Camassa-Holm equation, that formerly appeared as a reduction of a two-component Hamiltonian integrable systems. We write explicitly the negative and positive hierarchy associated with this equation and prove the integrability showing that they can be mapped respectively into the heat hierarchy and its negative counterpart, named the Klein-Gordon hierarchy. A local well-posedness theorem for periodic initial data is also proven. We show how transport equations can be used to effectively construct asymptotic solutions via an extension of the quasi-Miura map that preserves the initial datum. The method is alternative to the method of the string equation for Hamiltonian conservation laws and naturally extends to the viscous case. Using these tools we derive the viscous analog of the Painlevé I2 equation that describes the universal behaviour of the solution at the critical point of gradient catastrophe.

研究动机与目标

• 将Dubrovin针对哈密顿可积系统提出的微扰方法推广至非哈密顿、黏性标量守恒律。
• 利用保持方程形式的Miura变换，对变形参数的五阶以内所有可积黏性守恒律进行分类。
• 识别出一个唯一的函数参数——黏性中心不变量，作为控制所有此类变形的唯一不变量。
• 通过证明其与已知可积层级（热方程和Klein-Gordon方程）的等价性，证明所得方程的可积性。
• 通过近似分析推导出描述梯度爆破解点处普遍行为的黏性Painlevé I2方程。

提出的方法

• 对守恒律进行小参数ε的微扰展开，其中黏性修正项包含a(u)u_x及更高阶项。
• 将黏性中心不变量a(u)作为唯一决定可积层级的函数参数引入。
• 使用保持方程形式的Miura变换来消除非本质的函数参数，从而对变形进行分类。
• 通过类Miura变换将黏性Camassa-Holm方程的正负层级分别映射到热方程和Klein-Gordon层级。
• 应用传输方程和扩展的拟-Miura映射，构造保持初始数据的渐近解。
• 通过在梯度爆破解点附近的尺度变换和极限分析，推导出黏性Painlevé I2方程，利用尺度变换和Cole-Hopf变换将其线性化。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dubrovin的微扰方法能否推广至非哈密顿、黏性标量守恒律？
• RQ2 可积黏性守恒律的空间是否由单一函数不变量参数化？其物理与几何意义为何？
• RQ3 黏性Camassa-Holm方程的可积性结构是什么？其与已知可积层级有何关系？
• RQ4 解在梯度爆破解点附近的行为如何？何种普遍方程可描述此行为？
• RQ5 在黏性情形下，能否通过传输方程和扩展Miura映射有效构造渐近解？

主要发现

• 所有可积黏性守恒律均由黏性中心不变量a(u)唯一参数化，当a(u)为常数时对应Burgers层级。
• 当a(u)为线性函数时，得到Camassa-Holm方程的黏性类比，该方程可积，并可通过Miura变换映射到热方程和Klein-Gordon层级。
• 黏性Camassa-Holm方程的负向和正向层级分别同构于负向和正向热方程层级。
• 针对周期性初始数据，建立了黏性情形下的局部适定性定理。
• 在梯度爆破解点附近，解的行为由黏性Painlevé I2方程控制：$ U_{XX} + 3UU_X + U^3 - UT = X $，该方程通过尺度变换和极限分析推导得出。
• 黏性Painlevé I2方程可通过Cole-Hopf变换线性化为 $ w_{XXX} - T w_X = X w $，其通解可用广义超几何函数 $_0F_2$ 表示。