[论文解读] Integrable wavelet transforms with abelian dilation groups

Bradley Currey, Hartmut Führ+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文为作用于 $\mathbb{R}^n$ 上的阿贝尔膨胀群关联的连续小波变换的可积性建立了一个判据，将问题归约为在最大维数余伴面的轨道空间中识别紧致开集。关键结果对作用于三维空间的连通阿贝尔矩阵群的小波变换给出了可积性的完整刻画。

ABSTRACT

We consider a class of semidirect products $G = \mathbb{R}^n times H$, with $H$ a suitably chosen abelian matrix group. The choice of $H$ ensures that there is a wavelet inversion formula, and we are looking for criteria to decide under which conditions there exists a wavelet such that the associated reproducing kernel is integrable. It is well-known that the existence of integrable wavelet coefficients is related to the question whether the unitary dual of $G$ contains open compact sets. Our main general result reduces the latter problem to that of identifying compact open sets in the quotient space of all orbits of maximal dimension under the dual action of $H$ on $\mathbb{R}^n$. This result is applied to study integrability for certain families of dilation groups; in particular, we give a characterization valid for connected abelian matrix groups acting in dimension three.

研究动机与目标

• 确定半直积 $G = \mathbb{R}^n \rtimes H$ 关联的准正则表示何时存在可积的容许向量。
• 将可积小波系数的存在性与酉对偶 $\widehat{G}$ 的拓扑结构联系起来，特别是其紧致开集的存在性。
• 将可积性问题归约为分析 $\mathbb{R}^n$ 中 $H^T$-轨道的最大维数轨道空间。
• 对作用于 $\mathbb{R}^3$ 上的连通阿贝尔矩阵群，提供其可积性的完整刻画。

提出的方法

• 使用 $G = \mathbb{R}^n \rtimes H$ 上的准正则表示 $\pi$ 作用于 $L^2(\mathbb{R}^n)$，其定义为 $\pi(x,h)f(y) = |\det h|^{-1} f(h^{-1}(y - x))$。
• 定义连续小波变换 $V_\eta f(x,h) = \langle f, \pi(x,h)\eta \rangle$，其中 $\eta$ 为容许向量当且仅当 $V_\eta$ 是到 $L^2(G)$ 的等距嵌入。
• 通过 $\Delta_G^{-1/2} V_\eta \eta \in L^1(G)$ 引入可积容许向量的概念，将可积性与群代数 $L^1(G)$ 中的投影联系起来。
• 应用必要条件：此类投影的傅里叶变换谱必须是酉对偶 $\widehat{G}$ 的紧致开子集。
• 将问题归约为研究 $\mathbb{R}^n$ 中最大维数 $H^T$-轨道的商空间，利用对偶作用 $h \cdot x = h^{-T}x$。
• 将该判据应用于具有正实特征值谱的连通阿贝尔矩阵群，聚焦于三维情形，并利用轨道分层 $\mathcal{O}_i = \{x \in \mathbb{R}^n : \dim(H^T x) = i\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$G = \mathbb{R}^n \rtimes H$ 的准正则表示会存在可积的容许向量？
• RQ2 酉对偶 $\widehat{G}$ 中紧致开集的存在性与小波变换可积性之间有何关联？
• RQ3 余伴面轨道空间的哪些拓扑与几何性质决定了阿贝尔膨胀群的可积性？
• RQ4 是否可以对作用于 $\mathbb{R}^3$ 上的连通阿贝尔矩阵群实现可积性条件的完全刻画？
• RQ5 在最大维数轨道上对偶作用的自由性在可积性判据中起何种作用？

主要发现

• 酉对偶 $\widehat{G}$ 中紧致开集的存在性是 $L^1(G)$ 中存在投影的必要条件，而该条件等价于存在可积容许向量。
• 可积性问题归约为在 $\mathbb{R}^n$ 中最大维数 $H^T$-轨道的商空间中识别紧致开子集，该空间在 $H$ 的对偶作用下定义。
• 对于具有 $\operatorname{spec}(h) \subset \mathbb{R}^+$ 的连通阿贝尔矩阵群 $H$，可积性由轨道空间 $\mathcal{O}_d / H^T$ 的结构决定，其中 $d = \dim H$。
• 在三维情形下，本文基于余伴面轨道的几何结构，对这类膨胀群的小波变换给出了可积性的完整刻画。
• $\mathcal{O}_d$ 非空且为泽里斯基开集，且在 $\mathcal{O}_d$ 上对偶作用几乎处处自由，从而在标准准则下保证了容许性。
• 证明技术涉及构造具有发散参数的轨道序列，并通过矩阵系数衰减与增长的渐近分析推导出矛盾，从而证明轨道闭包的非紧致性。